Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 33/latex

\setcounter{section}{33}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(2,-7)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(5,-3) \text{ und } (-11,4)} { }
aus.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {2D Cartesian.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 2D Cartesian.svg } {} {Andeggs} {Commons} {gemeinfrei} {}

Bestimme die \zusatzklammer {ungefähren} {} {} Koordinaten des skizzierten Punktes \zusatzklammer {eine Kästchenlänge repräsentiere eine Einheit} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Markiere die folgenden Punkte in der kartesischen Ebene $\R^2$.
\mathdisp {(3,-7),\, (-1,-2),\, (0,5),\, (4,4),\, (4,5),\, (-3,0),\, (0,0)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(x,y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in der Ebene $\R^2$ gegeben. Skizziere die Punkte
\mathdisp {(-x,y),\, (x,-y),\, (-x,-y), \, (3x,3y), (-2x,-2y)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(x,y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in der Ebene $\R^2$ gegeben. Skizziere die Menge aller Punkte
\mathdisp {(cx,cy),\, c \in \R} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Markiere zwei Punkte \mathkor {} {P} {und} {Q} {} in der kartesischen Ebene $\R^2$ und addiere sie.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Zahlenraum $K^n$ zu einem Körper $K$ mit der komponentenweisen Addition und der Skalarmultiplikation die Eigenschaften \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(su) }
{ = }{ (rs) u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r(u+v) }
{ = }{ ru + rv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (r+s)u }
{ = }{ ru + su }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1u }
{ =} { u }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} } erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Im Rahmen einer Werbeaktion verkauft ein Baumarkt Schraubensets, die jeweils große, mittlere und kleine Schrauben enthalten. Set $A$ enthält $10$ große, $10$ mittlere und $5$ kleine Schrauben, Set $B$ enthält $15$ große, $5$ mittlere und $20$ kleine Schrauben, Set $C$ enthält $8$ große, $12$ mittlere und $6$ kleine Schrauben. Da das Angebot sehr günstig ist, läuft der Verkauf hervorragend. Allerdings gibt es kaum jemand, der genau eines der vorgebenen Sets brauchen kann, daher entwickelt sich auf dem Parkplatz eine rege Tauschbörse für Schrauben. Lässt sich jeder Schraubenwunsch mit den gegebenen Sets exakt erfüllen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\-4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 8 \\7 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^2$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 \\1\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\8\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\-5\\ 8 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $K^n$ der $n$-dimensionale Zahlenraum. Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren im $K^n$ und $w \in K^n$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
\mathdisp {w, v_i, i \in I} { , }
ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $K^n$ ist und dass sich $w$ als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein Erzeugendensystem von $K^n$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\2\\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{m,n\in \N}{.} Zeige, dass der Matrizenraum
\mathl{\operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)}{} in natürlicher Weise ein Vektorraum ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z & E & I & L & E \\ R & E & I & H & E \\ H & O & R & I & Z \\ O & N & T & A & L \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S & E & I \\ P & V & K \\ A & E & A \\ L & R & A \\ T & T & L \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {e_i \circ e_j} { , }
wobei links der $i$-te \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {der Länge $n$} {} {} als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor \zusatzklammer {ebenfalls der Länge $n$} {} {} als Spaltenvektor aufgefasst wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{} $M e_j$ mit dem $j$-ten \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {als Spaltenvektor aufgefasst} {} {} die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_i M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor \zusatzklammer {als Zeilenvektor aufgefasst} {} {} ist?

}
{} {}

Zu einer quadratischen Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung \zusatzklammer {Matrizenmultiplikation} {} {} mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten \stichwort {Potenzen} {} der Matrix.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne zur \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{\, i = 1 , \ldots , 4} {}
{} {} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} und $M$ eine $n\times n$-Matrix. Beschreibe \mathkor {} {DM} {und} {MD} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D }
{ =} { \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{\begin{pmatrix} c_1 \\\vdots\\ c_n \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $n$-Tupel über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{\begin{pmatrix} x_1 \\\vdots\\ x_n \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Variablentupel. Welche Besonderheiten erfüllt das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Dx }
{ =} {c }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und wie löst man es?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(5,-8)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(6,-4) \text{ und } (-3,7)} { }
aus.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 \\-5\\ 6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\-1\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\6\\ 7 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-8\\ 7 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die vierte \definitionsverweis {Potenz}{}{} von $M$ gleich $0$ ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^4 }
{ =} { MMMM }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.


\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} \definitionsverweis {assoziativ}{}{} ist. Genauer: Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
\mathl{m\times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{,} $B$ eine
\mathl{n\times p}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{p\times r}{-}Matrix über $K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (A B)C }
{ = }{ A(BC) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde und beweise eine Formel für die $n$-te \definitionsverweis {Potenz}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Finde neben den beiden Matrizen
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}{} vier weitere Matrizen
\mathl{M}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M^2 }
{ = }{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}