Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex

\setcounter{section}{45}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in einem angeordneten Körper eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist, durch Umwandlung der Quantoren.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$, die eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} $K$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $n \in \N$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} $K$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n} - x_{n-1} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $n \in \N_+$. Folgt daraus, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{a }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n+1} - x_n } }
{ \leq} { a^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $n$. Zeige, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } , \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \leq} {y_n }
{ \leq} {z_n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{} und es sei die Differenzfolge
\mathl{z_n-x_n}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} einer \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} wieder eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {angeordnete Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $K$, die in $L$ gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} konvergiert. Zeige, dass die Folge in $K$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {fallende}{}{,} \definitionsverweis {nach unten beschränkte}{}{} Folge. Zeige, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n }
{ =} { x_n+y_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine gegen $x$ konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen $x$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für die Folge der \definitionsverweis {Stammbrüche}{}{} die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{} ist eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} }{Die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{} ist eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.} }{Der Körper $K$ ist \definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{x \in K}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ x }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für alle
\mathl{n \in \N_+}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+x+x^2 + \cdots + x^n }
{ \leq} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} sitzen in der Kneipe. $A$ will nach Hause gehen, aber $B$ will noch ein Bier trinken. \anfuehrung{Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte}{} sagt $A$. Danach möchte $B$ immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel \anfuehrung{allerletztes Bier}{} trinken sie insgesamt?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{k = 1}^n { \frac{ 1 }{ k(k+1) } } }
{ =} { { \frac{ n }{ n+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Reihe
\mathl{\sum_{k = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ k(k+1) } }}{} in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme den Grenzwert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, wobei die Differenzfolge
\mathl{y_n-x_n}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} sei. Zeige, dass für
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} genau dann eine der Alternativen aus Lemma 45.10 gilt, wenn sie für
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die im Sinne von Lemma 45.10 positiv seien. Zeige, dass dann auch die Summenfolge
\mathl{x_n+y_n}{} und die Produktfolge
\mathl{x_ny_n}{} positiv sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter}{}{} \definitionsverweis {vollständiger Körper}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann nichtnegativ ist, wenn $x$ eine \definitionsverweis {Quadratwurzel}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\Z$ vollständig ist, dass also jede Cauchy-Folge in $\Z$ konvergiert.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Folge}{}{,} die nicht konvergiert, aber eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathl{x_{n_i},\, i \in \N}{,} mit der Eigenschaft gibt, dass zu jedem
\mathl{k \in \N_+}{} für alle
\mathl{i,j \geq k}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n_i} - x_{n_j} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$, die sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Folgenglieder besitzt. Zeige, dass es sich um eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} handelt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Reihe
\mathl{\sum_{k = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ k^2 } } =1 + { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 9 } } + { \frac{ 1 }{ 16 } } + \ldots}{} \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}