Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 44

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper , die beide gegen konvergieren mögen. Zeige, dass die Differenzfolge eine Nullfolge ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei die Heron-Folge zur Berechnung von zum Startwert . Konvergiert diese Folge in ?


Aufgabe

Es sei , und die zugehörige Heron-Folge zur Berechnung von . Wann konvergiert diese Folge in ?


Aufgabe

Bestimme für die Folge

und

ab welchem (minimalen) die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Bestimme für die Folge

und

ab welchem (minimalen) die Abschätzung

gilt.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass bei einer Folge in einem angeordneten Körper die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert.


Aufgabe

Zu sei die rationale Folge folgendermaßen definiert: Es sei

die größte Zahl mit und mit . Zeige, dass die Folge eine Dezimalbruchfolge ist.


Aufgabe *

Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Aufgabe *

Eine Folge in einem angeordneten Körper sei durch einen Anfangswert und durch die Rekursionsvorschrift

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.


Aufgabe

Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn die durch

gegebene Folge eine Nullfolge ist.


In den folgenden Aufgaben werden die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 44.11 bewiesen.

Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Zeige, dass die Summenfolge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in . Sei . Zeige, dass die Folge ebenfalls konvergent mit

ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Es sei und für alle . Zeige, dass ebenfalls konvergent ist mit


Aufgabe *

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Entscheide, ob die Folge

in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und zwei konvergente Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und es sei ein abgeschlossenes Intervall in . Es sei eine Folge in mit für alle . Die Folge konvergiere gegen . Zeige .


Aufgabe *

Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Folge

in keinem angeordneten Körper konvergiert. Kann sie beschränkt sein?


Aufgabe

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe

Bestimme mit Hilfe der Bernoulli-Ungleichung den Grenzwert der Folge


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 13.29 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper, in dem die Wurzeln zu existieren. Zeige, dass die Folge ab streng fallend ist.


Aufgabe *

Zu sei die Summe der ungeraden Zahlen bis und die Summe der geraden Zahlen bis . Entscheide, ob die Folge

in konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Man gebe Beispiele für positive monoton wachsende unbeschränkte Folgen und in einem angeordneten Körper derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


Aufgabe *

Es sei

  1. Finde das kleinste mit
  2. Finde das kleinste mit


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und seien . Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe

Zeige analog zu Beispiel 44.13, dass das (gliedweise) Produkt der kanonischen Dezimalbruchfolgen von zwei rationalen Zahlen nicht die Dezimalbruchfolge des Produktes sein muss.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass genau dann archimedisch angeordnet ist, wenn die Folge der Stammbrüche , gegen konvergiert.


Aufgabe

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper mit für alle . Die Quadratfolgen und seien konvergent und es sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.


Aufgabe *

Es seien und Folgen in einem angeordneten Körper mit für alle . Es sei eine Nullfolge. Zeige, dass ebenfalls eine Nullfolge ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper und eine konvergente Folge in . Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe Beispiele für konvergente Folgen und in einem angeordneten Körper mit , , und mit derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und es sei eine konvergente Folge in mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 44.31 hilfreich.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Es seien Startwerte und bzw. die zugehörigen Heron-Folgen zur Berechnung von . Zeige, dass eine Nullfolge ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die beiden Reihen

divergieren.



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