Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 47/latex

\setcounter{section}{47}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Heinz Ngolo und Mustafa Müller sagen abwechselnd reelle Zahlen auf. Dabei sind die Zahlen von Heinz alle positiv und fallen, die Zahlen von Mustafa sind negativ und wachsen. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die dadurch gegebene Folge. \aufzaehlungzwei {Kann ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ gegen eine von $0$ verschiedene Zahl \definitionsverweis {konvergieren}{}{?} } {Muss ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $0$ konvergieren? }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der einzige \definitionsverweis {Körperisomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R} {\R } {} die \definitionsverweis {Identität}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $R$ ein \definitionsverweis {Ring}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0 }
{ \neq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {K} {R } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ injektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $u$ genau dann \definitionsverweis {irrational}{}{} ist, wenn
\mathl{u+v}{} irrational ist. } {Es sei zusätzlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $u$ genau dann \definitionsverweis {irrational}{}{} ist, wenn
\mathl{u \cdot v}{} irrational ist. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ \neq} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

In $\Q$ sei eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegeben, deren Anfangsglieder durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1 }
{ = }{ 0,7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_2 }
{ = }{ 0,73 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_3 }
{ = }{ 0,734 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sind. Muss die Folge in $\Q$ konvergieren? Muss die Folge in $\R$ konvergieren? Kann die Folge in $\Q$ konvergieren? Kann die Folge in $\R$ konvergieren?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0{,}24 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0{,}51 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0{,}24719113 \dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0{,}60421809 \dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0,3 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0,3 \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen? Was kann man über die erste Nachkommaziffer des Produktes sagen, wenn die zweite Nachkommaziffer gleich $5$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { 0{,}536\,080\,713\dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { 0{,}663\,184\,254\dotso }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Was kann man über die Ziffernentwicklung des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die $17.$ Nachkommastelle in der \zusatzklammer {kanonischen} {} {} Dezimalentwicklung eine $0$ ist. Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ideals}{}{} erfüllt diese Menge, welche nicht?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}523 \dotso} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0,3715 \ldots} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es keinen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {(\R,0,+)} {G } {} in eine Gruppe $G$ mit der Eigenschaft gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {irrational}{}{} ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(r) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ a+bu \mid a,b \in \Z \right\} } }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von
\mathl{(\R,0,+)}{} ist.

b) Zeige, dass es kein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { \Z v }
{ =} { { \left\{ cv \mid c \in \Z \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

c) Zeige, dass es in $G$ kein positives minimales Element gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $K$. Wir definieren zwei Folgen mit den Anfangswerten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0 }
{ = }{x_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_0 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n+1} }
{ =} { \begin{cases} y_n +x_{n+1} -x_n , \text{ falls } x_{n+1} \geq x_n \, , \\ y_n \text{ sonst} \, ,\end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_{n+1} }
{ =} { \begin{cases} z_n +x_{n+1} -x_n , \text{ falls } x_{n+1} <x_n \, , \\ z_n \text{ sonst} \, .\end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} \definitionsverweis {wachsend}{}{} ist. }{Zeige, dass
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} \definitionsverweis {fallend}{}{} ist. }{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { y_n +z_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Man kann also jede Folge als Summe einer wachsenden und einer fallenden Folge darstellen. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass man die alternierende Folge
\mathl{(-1)^n}{} nicht als Summe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(-1)^n }
{ =} { y_n +z_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben kann, wenn
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} und
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} beschränkte und monotone Folgen sind.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zu einem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei eine reelle Folge rekursiv durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ =} { { \frac{ x_n+a }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ > }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ > }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ = }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Folge konstant.

(c) Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ < }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ < }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist $a$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jede \definitionsverweis {wachsende}{}{,} nach oben \definitionsverweis {beschränkte}{}{} Folge in $K$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.

}
{} {}

Die Folge der \definitionswort {Fibonacci-Zahlen}{} $f_n$ ist rekursiv definiert durch
\mathdisp {f_1 \defeq 1 \, , f_2 \defeq 1 \text{ und } f_{n+2} \defeq f_{n+1} +f_{n}} { . }

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( f_n \right) }_{n \in \N }$ die Folge der \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} { { \frac{ f_n }{ f_{n-1} } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass diese Folge in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und dass der Grenzwert $x$ die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {1 + x^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt. Berechne daraus $x$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise durch Induktion die \stichwort {Binet-Formel} {} für die \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{.} Diese besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n }
{ =} { \frac{ { \left( \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right) }^n - { \left( \frac{1-\sqrt{5} }{2} \right) }^n}{\sqrt{5} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass zu einem beliebigen Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \in }{ \R_{+} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1} }
{ \defeq} { { \frac{ (k-1)x_n + { \frac{ a }{ x_n^{k-1} } } }{ k } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Folge definiert wird, die gegen $\sqrt[k]{a}$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathdisp {a_n =\sqrt{ { \frac{ 2 \sqrt{n} -3 }{ 3 \sqrt{n} -2 } } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Welche \definitionsverweis {Dezimalbruchfolgen}{}{} der Form
\mathl{0,z_{-1} z_{-2}z_{-3} \ldots}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z_i }
{ \in }{ \{0 , \ldots , 9\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind \definitionsverweis {Nullfolgen}{}{} in $\R$? Welche in $\Q$?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,11 \overline{05}} { }
gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dualsystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch
\mathl{0{,}\overline{3}}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Ziffernentwicklung im Dreiersystem derjenigen reellen Zahl, die im Dezimalsystem durch
\mathl{0{,}\overline{17}}{} gegeben ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu den reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { z_0{,}\overline{ z_{1} \ldots z_{m} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { w_0{,}\overline{ w_{1} \ldots w_{m} } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Zeige, dass die Summe
\mathl{x + y}{} ebenfalls eine \zusatzklammer {nicht unbedingt minimale} {} {} Periode der Länge $m$ besitzt. Erläutere, wie sich die Periode der Summe aus den beiden einzelnen Perioden ergibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu den reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { z_0,z_1 \ldots z_k \overline{ z_{k+1} \ldots z_{k+r} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { w_0, w_1 \ldots w_\ell \overline{ w_{\ell+1} \ldots z_{\ell+s} } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Was kann man über die Periodenlänge der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zu den reellen Zahlen \mathkor {} {x} {und} {y} {} sei die periodische Ziffernentwicklung bekannt,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { z_0,z_1 \ldots z_k \overline{ z_{k+1} \ldots z_{k+r} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { w_0, w_1 \ldots w_\ell \overline{ w_{\ell+1} \ldots z_{\ell+s} } }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{.} Was kann man über die Periodenlänge des Produktes
\mathl{x \cdot y}{} sagen?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mathl{m \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0, \overline{0 \ldots 0 1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die reelle Zahl mit Periodenlänge $m$ \zusatzklammer {die Periode besteht aus
\mathl{m-1}{} Nullen und einer $1$} {} {.} Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mathl{z_i \in \{0,1,2 , \ldots , 9\}}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy }
{ =} { 0, \overline{z_{m-1} z_{m-2} \ldots z_1 z_0} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Aufgrund der Wohldefiniertheit der Addition und der Multiplikation für die reellen Zahlen können wir je zwei Zahlen, die in der Form
\mathdisp {z_n z_{n-1} \ldots z_1z_0,z_{-1} z_{-2} \ldots} { }
\zusatzklammer {mit Ziffern $z_i$ aus
\mathl{\{0,1 , \ldots , 9\}}{,} die nach rechts unendlich weiter gehen können} {} {} miteinander addieren und multiplizieren, insbesondere kommt dabei wieder eine Zahl in einer solchen Form heraus. Jemand kommt auf folgende Idee: \anfuehrung{Es müsste dann ebenfalls möglich sein, auch Zahlen der Form
\mathdisp {\ldots z_1z_0,z_{-1} z_{-2} \ldots z_{-k}} { , }
die also nach links unendlich weiter gehen dürfen, miteinander zu addieren und zu multiplizieren. Die Situation ist ja völlig symmetrisch \zusatzklammer {Spiegelung an der Einerstelle} {} {} zur Dezimalentwicklung und man muss nur die gleichen Rechenregeln analog anwenden}{.} Was ist davon zu halten?

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {B-bronze.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 龜-bronze.svg } {} {} {Commons} {} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte \zusatzklammer {mit der Kriechgeschwindigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} hat einen Vorsprung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegenüber dem schnelleren Achilles \zusatzklammer {mit der Geschwindigkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ > }{ v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dem Startpunkt $0$} {} {.} Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_0 }
{ = }{ s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 }
{ > }{ s_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wenn Achilles an der Stelle $s_1$ ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_2 }
{ > }{ s_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} u.s.w.

Berechne die Folgenglieder $s_n$, die zugehörigen Zeitpunkte $t_n$, sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \geq }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ 1 }{ n^k } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Folge
\mathl{(a_n)_{n \in \N}}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_n }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n+1 } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 2n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{} mit der Eigenschaft, dass jede \definitionsverweis {Dezimalbruchfolge}{}{} in $K$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Zeige, dass $K$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist.

}
{} {}

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {dicht}{,} wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { t-x } }
{ <} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{} $\Q$ in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Dezimalbrüche}{}{} in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{k \in \N_{\geq 2}}{} eine fixierte natürliche Zahl und es sei $T$ die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $k$ als Nenner schreiben kann. Zeige, dass $T$ in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge. Zeige, dass $T$ genau dann \definitionsverweis {dicht}{}{} in $\R$ ist, wenn es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, die gegen $x$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der irrationalen Zahlen in $\R$ \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.15 hilfreich.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z + \Z \cdot \sqrt{3} }
{ \subseteq} {\R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $H$ eine (additive) \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{{\Z} a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$ \definitionsverweis {dicht}{}{} in $\R$ ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S }
{ =} { \Q + \Q \sqrt{3} }
{ =} { { \left\{ x+y \sqrt{3} \mid x,y \in \Q \right\} } }
{ \subseteq} { \R }
{ } { }
} {}{}{} ist ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass es einen von der Identität verschiedenen bijektiven \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {S} {S } {} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der durch
\mathdisp {x_n = { \frac{ 2n+5 \sqrt{n} +7 }{ -5 n+3 \sqrt{n} -4 } }} { }
definierten \definitionsverweis {reellen Folge}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$. Zeige, dass man im Allgemeinen nicht
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} { y_n +z_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer wachsenden Cauchy-Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} und einer fallenden Cauchy-Folge
\mathl{{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }}{} schreiben kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \in }{\R_{\geq 0} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} mit dem Grenzwert $x$. Zeige, dass die Folge
\mathl{\sqrt{x_n}}{} gegen
\mathl{\sqrt{x}}{} konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,23 \overline{4707}} { }
gegeben ist.

}
{} {}