Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 48

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jede Intervallschachtelung in einen Punkt enthält. Zeige, dass vollständig ist.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge und entsprechenden Grenzen.


Aufgabe

Es sei eine Intervallschachtelung für und eine Intervallschachtelung für . Beschreibe eine Intervallschachtelung für .


Aufgabe

Bestimme die ersten Intervalle , , in der Intervallhalbierung zu , ausgehend von .


Aufgabe

Bestimme die ersten Intervalle , , in der Intervallhalbierung zu , ausgehend von . Was besagt das Ergebnis für die Ziffernentwicklung von im Zweiersystem?


Im jetzigen Kontext betrachte man auch nochmal Aufgabe 28.36, Aufgabe 28.37, Aufgabe 28.38.

Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

mit für alle , wobei streng wachsend und streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen ()

derart an, dass eine Nullfolge ist, dass aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.


Es sei ein angeordneter Körper. Eine Teilmenge heißt ein Abschnitt, wenn für alle mit und jedes mit auch ist.


Aufgabe

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, dass jedes Intervall (einschließlich der unbeschränkten Intervalle) in ein Abschnitt ist.

Man gebe ein Beispiel für einen Abschnitt in , der kein Intervall ist.

Zeige, dass in jeder Abschnitt ein Intervall ist.


Aufgabe *

Sei ein angeordneter Körper und sei die Menge aller Intervallschachtelungen auf . Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen und zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem gibt es ein mit und zu jedem gibt es ein mit .

  1. Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ist.
  2. Sei . Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
  3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.


Aufgabe

Inwiefern definiert eine rationale Zahl einen Dedekindschen Schnitt?


Aufgabe

Inwiefern definiert eine reelle Zahl einen Dedekindschen Schnitt?


Aufgabe

Man gebe für jede der vier Bedingungen, die in der Definition eines Dedekindschen Schnittes vorkommen, ein Beispiel für ein Paar mit , das drei dieser Bedingungen erfüllt, aber nicht die vierte.


Aufgabe

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Addition, die für rationale Schnitte mit der Addition auf übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen negativen Schnitt besitzt.


Aufgabe

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine Multiplikation, die für rationale Schnitte mit der Multiplikation auf übereinstimmt. Zeige, dass diese Verknüpfung kommutativ und assoziativ ist, dass es ein neutrales Element gibt und dass jeder Dedekindsche Schnitt einen inversen Schnitt besitzt.


Aufgabe

Definiere auf der Menge der Dedekindschen Schnitte eine totale Ordnung, die für rationale Schnitte mit der Größergleichrelation auf übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Dedekindschen Schnitte ein angeordneter Körper ist.


Aufgabe

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper mit der Eigenschaft, dass jeder Dedekindsche Schnitt in ein Punktschnitt ist. Zeige, dass vollständig ist.


Aufgabe

Es sei und es seien nichtnegative reelle Zahlen mit

Zeige mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes, dass es ein mit

gibt.


Aufgabe *

Untersuche die Folge

auf Konvergenz.


Aufgabe *

Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.


Aufgabe

Es seien positive reelle Zahlen. Wir definieren rekursiv zwei Folgen und durch , und durch

Zeige, dass eine Intervallschachtelung ist.


Aufgabe *

Sei eine reelle Zahl. Wir betrachten die reelle Folge

().

  1. Zeige, dass die Folge monoton fallend ist.
  2. Zeige, dass sämtliche Folgenglieder sind.
  3. Zeige, dass die Folge gegen konvergiert ist.


Aufgabe

Berechne für die Folge

die ersten vier Glieder als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal an.


Aufgabe

Zeige die folgenden Abschätzungen.

a)

b)


Aufgabe *

Für die Eulersche Zahl seien die Abschätzungen

bekannt.

  1. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?
  2. Was lässt sich über die ersten Stellen der Dezimalentwicklung von sagen?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Die Dezimalentwicklung einer reellen Zahl beginne

Beschreibe die zugehörige Intervallschachtelung mit Intervallen der Länge und entsprechenden Grenzen.


In der folgenden Aufgabe dürfen Sie annehmen, dass sich alles in abspielt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Intervallschachtelung für und eine Intervallschachtelung für . Beschreibe eine Intervallschachtelung für .


Aufgabe (3 Punkte)

Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von sagen?


Aufgabe (4 Punkte)

Eine reelle Zahl besitze die Ziffernentwicklung

im Dezimalsystem, die angedeutete Regelmäßigkeit gelte für die gesamte Entwicklung. Bestimme die Ziffernentwicklung von bis zur vierten Nachkommastelle.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ziffernentwicklung von


Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

konvergiert, und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne für die Folge

die Glieder bis als Bruch. Man gebe jeweils einen approximierenden Dezmialbruch mit einem Fehler von maximal an.



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