Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 54/latex

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\setcounter{section}{54}






\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}




\inputaufgabe
{}
{

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(4,-1)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-2,5)}{} läuft.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den rationalen Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \Q^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Gerade
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \Q^2 \mid x+y = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungvier{Bestimme die Schnittpunkte
\mathl{E \cap G}{.} }{Wie sieht es aus, wenn man statt $\Q$ die reellen Zahlen $\R$ nimmt? }{Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat? }{Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y)\in \Q^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,5)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-4,-1)}{} läuft.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2y-3x+1 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,2)$ und den Radius $5$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise \mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,} wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen \mathkor {} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid x^2+xy+3y^2 = 3 \right\} }} {und} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 2x^2-xy+y^2 = 4 \right\} }} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $a,b,r \in \R$, $r >0$, und sei
\mathdisp {K = { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} }} { }
der \stichwort {Kreis} {} mit dem \stichwort {Mittelpunkt} {} $M=(a,b)$ und dem \stichwort {Radius} {} $r$. Es sei $G$ eine \stichwort {Gerade} {} in $\R^2$ mit der Eigenschaft, dass es auf $G$ mindestens einen Punkt $P$ gibt mit $d(M,P) \leq r$. Zeige, dass $K \cap G \neq \emptyset$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$. \aufzaehlungfuenf{Skizziere \mathkor {} {P} {und} {K} {.} }{Erstelle eine Gleichung für $K$. }{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$. }{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die Körper
\mathl{K= \Z/(2)}{,}
\mathl{\Z/(3)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(7)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungsechs{Skizziere einen Kreis mit einem bestimmten Radius. }{Trage auf einem Faden den Radius als Einheitsstrecke und Vielfache davon ein. }{Bestimme mit dem Faden den ungefähren Wert des Kreisumfanges. }{Lege einen Startpunkt auf dem Kreis fest \zusatzklammer {der Kreismittelpunkt als Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} und der Startpunkt als
\mathl{(1,0)}{} legen ein Koordinatensystem fest} {} {.} }{Finde zu verschiedenen Punkten \zusatzklammer {etwa Einheitsstrecke, halbe Einheitsstrecke, doppelte Einheitsstrecke} {} {} auf dem Faden den zugehörigen \definitionsverweis {trigonometrischen Punkt}{}{.} Schätze seine Koordinaten jeweils ab. }{Finde zu verschiedenen Punkten auf dem Kreis den zugehörigen Punkt auf dem Faden. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis. %Daten für folgende Tabelle


\renewcommand{\leitzeilenull}{ }

\renewcommand{\leitzeileeins}{ Grad }

\renewcommand{\leitzeilezwei}{ Bogenmaß }

\renewcommand{\leitzeiledrei}{ Prozent }

\renewcommand{\leitzeilevier}{ }

\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }

\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }

\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }

\renewcommand{\leitzeileacht}{ }

\renewcommand{\leitzeileneun}{ }

\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }

\renewcommand{\leitzeileelf}{ }

\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }


\renewcommand{\leitspaltenull}{ }

\renewcommand{\leitspalteeins}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwei}{ }

\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }

\renewcommand{\leitspaltevier}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }

\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }

\renewcommand{\leitspalteacht}{ }

\renewcommand{\leitspalteneun}{ }

\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }

\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }

\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }

\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }



\renewcommand{\aeinsxeins}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxzwei}{ \, }

\renewcommand{\aeinsxdrei}{ 100\,\% }

\renewcommand{\aeinsxvier}{ }

\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }

\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }

\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }

\renewcommand{\aeinsxacht}{ }

\renewcommand{\aeinsxneun}{ }

\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }

\renewcommand{\aeinsxelf}{ }

\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azweixeins}{ 270^{\circ} }

\renewcommand{\azweixzwei}{ \, }

\renewcommand{\azweixdrei}{ \, }

\renewcommand{\azweixvier}{ }

\renewcommand{\azweixfuenf}{ }

\renewcommand{\azweixsechs}{ }

\renewcommand{\azweixsieben}{ }

\renewcommand{\azweixacht}{ }

\renewcommand{\azweixneun}{ }

\renewcommand{\azweixzehn}{ }

\renewcommand{\azweixelf}{ }

\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreixeins}{ \, }

\renewcommand{\adreixzwei}{ { \frac{ \pi }{ 10 } } }

\renewcommand{\adreixdrei}{ \, }

\renewcommand{\adreixvier}{ }

\renewcommand{\adreixfuenf}{ }

\renewcommand{\adreixsechs}{ }

\renewcommand{\adreixsieben}{ }

\renewcommand{\adreixacht}{ }

\renewcommand{\adreixneun}{ }

\renewcommand{\adreixzehn}{ }

\renewcommand{\adreixelf}{ }

\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierxeins}{ 60^{\circ} }

\renewcommand{\avierxzwei}{ \, }

\renewcommand{\avierxdrei}{ \, }

\renewcommand{\avierxvier}{ }

\renewcommand{\avierxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierxsechs}{ }

\renewcommand{\avierxsieben}{ }

\renewcommand{\avierxacht}{ }

\renewcommand{\avierxneun}{ }

\renewcommand{\avierxzehn}{ }

\renewcommand{\avierxelf}{ }

\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfxeins}{ \, }

\renewcommand{\afuenfxzwei}{ \pi }

\renewcommand{\afuenfxdrei}{ \, }

\renewcommand{\afuenfxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechsxeins}{ \, }

\renewcommand{\asechsxzwei}{ \, }

\renewcommand{\asechsxdrei}{ 1\,\% }

\renewcommand{\asechsxvier}{ }

\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechsxsechs}{ }

\renewcommand{\asechsxsieben}{ }

\renewcommand{\asechsxacht}{ }

\renewcommand{\asechsxneun}{ }

\renewcommand{\asechsxzehn}{ }

\renewcommand{\asechsxelf}{ }

\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asiebenxeins}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }

\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }

\renewcommand{\asiebenxvier}{ }

\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }

\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }

\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }

\renewcommand{\asiebenxacht}{ }

\renewcommand{\asiebenxneun}{ }

\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }

\renewcommand{\asiebenxelf}{ }

\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aachtxeins}{ }

\renewcommand{\aachtxzwei}{ }

\renewcommand{\aachtxdrei}{ }

\renewcommand{\aachtxvier}{ }

\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }

\renewcommand{\aachtxsechs}{ }

\renewcommand{\aachtxsieben}{ }

\renewcommand{\aachtxacht}{ }

\renewcommand{\aachtxneun}{ }

\renewcommand{\aachtxzehn}{ }

\renewcommand{\aachtxelf}{ }

\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }


\renewcommand{\aneunxeins}{ }

\renewcommand{\aneunxzwei}{ }

\renewcommand{\aneunxdrei}{ }

\renewcommand{\aneunxvier}{ }

\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }

\renewcommand{\aneunxsechs}{ }

\renewcommand{\aneunxsieben}{ }

\renewcommand{\aneunxacht}{ }

\renewcommand{\aneunxneun}{ }

\renewcommand{\aneunxzehn}{ }

\renewcommand{\aneunxelf}{ }

\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }


\renewcommand{\azehnxeins}{ }

\renewcommand{\azehnxzwei}{ }

\renewcommand{\azehnxdrei}{ }

\renewcommand{\azehnxvier}{ }

\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\azehnxsechs}{ }

\renewcommand{\azehnxsieben}{ }

\renewcommand{\azehnxacht}{ }

\renewcommand{\azehnxneun}{ }

\renewcommand{\azehnxzehn}{ }

\renewcommand{\azehnxelf}{ }

\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\aelfxeins}{ }

\renewcommand{\aelfxzwei}{ }

\renewcommand{\aelfxdrei}{ }

\renewcommand{\aelfxvier}{ }

\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\aelfxsechs}{ }

\renewcommand{\aelfxsieben}{ }

\renewcommand{\aelfxacht}{ }

\renewcommand{\aelfxneun}{ }

\renewcommand{\aelfxzehn}{ }

\renewcommand{\aelfxelf}{ }

\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }

\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }

\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }

\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }

\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }

\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }

\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }

\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }



\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }

\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }

\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }

\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }

\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }

\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }

\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }

\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }



\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }

\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }

\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }

\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }

\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }


\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }

\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }

\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }

\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }

\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }

\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }

\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }

\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }


\tabelleleitsechsxdrei

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die trigonometrischen Dreiecke zu den Winkeln \aufzaehlungdrei{
\mathl{2 \pi /3}{,} }{
\mathl{5 \pi /4}{,} }{
\mathl{7\pi /4}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Begründe die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin x }
{ \leq} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{x \in \R_{\geq 0}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion die folgenden Werte besitzt.

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { \cos { \frac{ \pi }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin { \frac{ \pi }{ 3 } } }
{ =} {{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers \zusatzklammer {jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen} {} {} berechnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wie hoch muss ein Spiegel mindestens sein, damit man sich in ihm vollständig sehen kann \zusatzklammer {ohne sich zu verrenken} {} {?}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { \sin n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nicht konvergiert.

}
{} {}

Mit einem Ausdruck der Form
\mathl{\sin^{ n } x}{} meint man
\mathl{(\operatorname{sin} (x))^n}{.}


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu \zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.} \aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}




}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die Funktion \maabbeledisp {g} {\R_+} {\R } {x} { \sin { \frac{ 1 }{ x } } } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases}x \cdot \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0 \, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}} { }
definierte Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist. Ist der Graph dieser Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?}

}
{} {}

Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch im Sinne der folgenden Definition.


Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {periodisch}{} mit \definitionswort {Periode}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { f(x+L) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {periodische Funktion}{}{} und \maabbdisp {g} {\R} {\R } {} eine beliebige Funktion.

a) Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} wieder periodisch ist.

b) Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
\mathl{f \circ g}{} nicht periodisch sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f_1,f_2} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {periodische Funktionen}{}{} mit den Periodenlängen \mathkor {} {L_1} {bzw.} {L_2} {.} Der Quotient
\mathl{L_1/L_2}{} sei eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{.} Zeige, dass auch
\mathl{f_1+f_2}{} eine periodische Funktion ist.

}
{} {}

Die nächsten Aufgaben verwendet den Begriff der geraden und der ungeraden Funktion.


Eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {gerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { f(-x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

Eine Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} heißt \definitionswort {ungerade}{,} wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { -f(-x) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$, ob $f$ eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} ist?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$, ob $f$ eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} ist?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {\betrag { \,\, \, }} {\R} {\R } {x} { \betrag { x } } {,} eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {lineare Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { ax } {,} eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{P= \sum_{k=0}^d a_k x^k \in \R[X]}{} ein Polynom. Zeige, dass $P$ genau dann eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} definiert, wenn
\mathl{a_k=0}{} für alle ungeraden Indizes ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{P= \sum_{k=0}^d a_k x^k \in \R[X]}{} ein Polynom. Zeige, dass $P$ genau dann eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} definiert, wenn
\mathl{a_k=0}{} für alle geraden Indizes ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Erstelle die Drehmatrizen zu den Winkeln
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \alpha }
{ =} { 0,\, \pi, \, \pi/2,\, \pi/3,\, \pi/6,\, \pi/4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathcal D} }
{ =} { { \left\{ D(\alpha) \mid \alpha \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Menge aller \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{} mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung. \aufzaehlungvier{Zeige, dass
\mathl{({\mathcal D}, \circ, E_2)}{} eine Gruppe ist. }{Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\R} { {\mathcal D} } {\alpha} { D(\alpha) } {,} ein surjektiver \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. }{Zeige, dass
\mathl{2 \pi \Z}{} der \definitionsverweis {Kern}{}{} der Abbildung
\mathl{\alpha \mapsto D(\alpha)}{} ist. }{Zeige die Gruppenisomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R/2 \pi \Z }
{ \cong} { {\mathcal D} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos 3 \alpha }
{ =} { 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( 1 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+{ \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 \right) }^2 + { \left( X - { \frac{ 1 }{ 6 } } X^3 + { \frac{ 1 }{ 120 } } X^5 \right) }^2} { . }
Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$. } {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \anfuehrung{Ableitung}{} der Sinusreihe unter der \zusatzklammer {in diesem Fall richtigen} {} {} Annahme, dass man bei einer unendlichen Summe von Funktionen gliedweise ableiten darf.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mathl{3y-4x+2=0}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,5)$ und den Radius $7$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise \mathkor {} {K} {und} {L} {,} wobei $K$ den Mittelpunkt $(2,3)$ und den Radius $4$ und $L$ den Mittelpunkt
\mathl{(5,-1)}{} und den Radius $7$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Ellipsen \mathkor {} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 4x^2-3xy+2y^2 = 7 \right\} }} {und} {{ \left\{ (x,y) \in\R^2 \mid 3x^2+4xy+5y^2 = 8 \right\} }} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 5 \sin^{ 3 } n -6n^4 +13 n^2+ { \left( \sin n \right) } { \left( \cos \left( n^2 \right) \right) } }{ 7 n^4 -5n^3 +n^ 2 \sin^{ 2 } \left( n^3 \right) - \cos n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass man jede \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{g+h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer stetigen \definitionsverweis {geraden Funktion}{}{} $g$ und einer stetigen \definitionsverweis {ungeraden Funktion}{}{} $h$ schreiben kann.

}
{} {}


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