Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Arbeitsblatt 53

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne

bis auf einen Fehler von .




Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl und . Zeige, dass die durch

definierte Zahl unabhängig von der Bruchdarstellung für ist.


Aufgabe *

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe *

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

stetig ist.


Aufgabe *

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.


Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe *

Entscheide, ob die reelle Folge

(mit ) in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


Aufgabe

Zeige, dass der einzige Gruppenhomomorphismus

die konstante Abbildung auf ist.


Aufgabe

Es sei

eine monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass auf nicht unbedingt mit übereinstimmen muss.


Aufgabe

Es sei

eine monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass ebenfalls monoton ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige monotone Funktion und es sei

die dazu in Lemma 53.3 definierte Funktion. Zeige, dass auf mit übereinstimmt.


Aufgabe *

Vergleiche die beiden Zahlen


Aufgabe

Vergleiche die drei Zahlen


Aufgabe

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe

Es sei eine positive reelle Zahl. Zeige, dass die Exponentialfunktion

folgende Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist für alle .
  2. Es ist .
  3. Für und ist .
  4. Für und ist .
  5. Für ist streng wachsend.
  6. Für ist streng fallend.
  7. Es ist für alle .
  8. Für ist .


Aufgabe *

Es sei

eine stetige Funktion , die die Gleichung

für alle erfüllt. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein mit gibt.


Aufgabe

Zeige, dass eine Exponentialfunktion

aus einem arithmetischen Mittel ein geometrisches Mittel macht.


Aufgabe *

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.


Aufgabe *

Es sei eine positive reelle Zahl und

die zugehörige Exponentialfunktion. Zeige

für alle unter Bezug auf die entsprechende Gleichung für rationale Argumente.


Aufgabe

Skizziere die Graphen zu den Funktionen

für auf .


Aufgabe *

Ordne die Zahlen

gemäß ihrer Größe.


Aufgabe

Wir betrachten die Exponentialreihe

Zeige, dass die Ableitung von mit übereinstimmt. Verwende dabei, dass in diesem Fall die Ableitung einer unendlichen Summe von Polynomen gleich der Summe der einzelnen Ableitungen ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion

mit und mit für alle , die von verschieden ist.


Aufgabe

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?


Aufgabe

Man bastle einen Rechenschieber, der die Multiplikation von positiven reellen Zahlen ausführt.


Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.

  1. Es gilt .
  2. Es gilt für .
  3. Es gilt


Aufgabe *

Es sei fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

stetig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe (2 Punkte)

Vergleiche


Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine rationale Zahl zwischen den beiden Zahlen und folgere daraus, welche größer ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetige, streng wachsende Funktion

mit der Eigenschaft, dass es keine stetige Funktion

gibt, die auf mit übereinstimmt.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein reelles mit für alle gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne mit der Exponentialreihe bis auf einen Fehler von .



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