Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Arbeitsblatt 17/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ersetze im Ausdruck

{\text{QZVWXYTXUXYSRWZ}}

simultan die Buchstaben ${}Q$ durch ${}F$ , ${}R$ durch ${}A$ , ${}S$ durch ${}J$ , ${}T$ durch ${}N$ , ${}V$ durch ${}O$ , ${}W$ durch ${}H$ , ${}X$ durch ${}E$ , ${}Y$ durch ${}S$ und ${}Z$ durch ${}R$ . Handelt es sich um einen Term?

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere, ob es sich bei

n!,\,{\binom {n}{k}},\,\pi ,\,e^{u},x^{y},\,5^{x},\,{\sqrt {x}},\,\heartsuit

um Terme handelt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Expandiere den Term ${}3a^{2}$ .

Bei Einsetzungsaufgaben sind grundsätzlich die entstehenden Terme zu vereinfachen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ersetze im Term ${}3x^{2}+2x+4$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ersetze im Term ${}4x^{2}+3x+7$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}y^{3}+2y+5$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ersetze im Term ${}3x^{2}+5x+6$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ersetze im Term

a_{4}\cdot 10^{4}+a_{3}\cdot 10^{3}+a_{2}\cdot 10^{2}+a_{1}\cdot 10+a_{0}

simultan die Variablen

${}a_{0}$ durch ${}4$ , ${}a_{1}$ durch ${}7$ , ${}a_{2}$ durch ${}4$ , ${}a_{3}$ durch ${}0$ , ${}a_{4}$ durch ${}5$ ,
${}a_{0}$ durch ${}7$ , ${}a_{1}$ durch ${}11$ , ${}a_{2}$ durch ${}10$ , ${}a_{3}$ durch ${}0$ , ${}a_{4}$ durch ${}13$ ,
${}a_{0}$ durch ${}b_{1}$ , ${}a_{1}$ durch ${}b_{3}$ , ${}a_{2}$ durch ${}b_{7}$ , ${}a_{3}$ durch ${}b_{1}$ , ${}a_{4}$ durch ${}b_{3}$ ,
${}a_{0}$ durch ${}10$ , ${}a_{1}$ durch ${}10^{3}$ , ${}a_{2}$ durch ${}10^{4}$ , ${}a_{3}$ durch ${}100$ , ${}a_{4}$ durch ${}10^{4}$ .

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Finde die Zifferntupel ${}(a,b,c)\in \{1,2,\ldots ,9\}^{3}$ , die die Gleichung

{}a\cdot ba=ac\,

erfüllen, wobei ${}ba$ und ${}ac$ zweistellige Zahlen im Dezimalsystem bezeichnen. Schreibe die Gleichungen für die gefundenen Lösungen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Ersetze im Molekül

H-O-C\equiv C-O-O-C\equiv B

jedes Sauerstoffatom ( ${}O$ ) durch ${}O-O$ und jedes Kohlenstoffaxiom ( ${}C$ ) durch ein Siliciumaxiom ${}Si$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}T(x)$ ein Term in der einen Variablen ${}x$ , der ansonsten aus natürlichen Zahlen und darauf definierten Funktionssymbolen gebildet sei. Man mache sich klar, dass die Einsetzung ${}a\mapsto T(a)$ eine Abbildung von ${}\mathbb {N}$ nach ${}\mathbb {N}$ definiert.

Die Kleine-Scheiben-Operade besteht aus Kreisen mit einem fixierten Radius, die kleinere überschneidungsfreie durchnummerierte Kreise beinhalten. Es seien ${}K$ und ${}L$ zwei solche Scheiben. Die Verknüpfung ${}K*_{i}L$ (genannt die ${}i$ -te Einsetzung), wobei ${}i$ zwischen ${}1$ und der Anzahl der inneren Kreise von ${}K$ ist, erhält man, indem man den ${}i$ -ten inneren Kreis von ${}K$ durch den auf diese Größe geschrumpften Kreis ${}L$ (ohne Drehung) ersetzt, dabei die Umrandung weglässt und die inneren Kreise neu nummeriert, und zwar so, dass die inneren Kreise von ${}K$ bis zur Nummer ${}i-1$ ihre Nummer behalten, die in den ${}i$ -ten Kreis von ${}K$ platzierten Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in ${}L$ bekommen und die verbleibenden inneren Kreise die anschließenden Nummern gemäß ihrer Reihenfolge in ${}K$ bekommen.

Alle folgenden Einsetzungsaufgaben für die kleinen Scheiben beziehen sich auf die skizzierten Objekte.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Einsetzungen

${}A*_{1}B$ ,
${}A*_{2}B$ ,
${}A*_{3}B$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Einsetzungen

${}A*_{1}A$ ,
${}A*_{2}A$ ,
${}A*_{3}A$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Einsetzungen

${}B*_{1}A$ ,
${}A*_{2}D$ ,
${}D*_{3}B$ ,
${}D*_{1}B$ ,
${}D*_{2}B$ ,
${}D*_{1}D$ ,
${}C*_{1}A$ ,
${}A*_{1}C$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Einsetzungen

${}C*_{1}C$ ,
${}(C*_{1}C)*_{1}C$ ,
${}((C*_{1}C)*_{1}C)*_{1}C$ ,
${}C*_{1}(C*_{1}C)$ ,
${}(C*_{1}C)*_{1}(C*_{1}C)$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Besitzen die Einsetzungen ${}*_{i}$ für die kleinen Scheiben ein neutrales Element?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Setze in den folgenden Definitionsgleichungen den Doppelpunkt an die richtige Stelle.

a^{3}=a\cdot a\cdot a,\,n!=n(n-1)\cdots 3\cdot 2\cdot 1,\,{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}},\,P=4x^{2}+7x-5

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

${}-(-x)=x\,,$
${}x^{2}-3x+5=0\,.$
${}13-8=5\,,$
${}a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

${}\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ ,
${}\prod _{i=1}^{n}i=n!$ ,
${}4+9=13$ ,
${}{\binom {4}{2}}=6\,,$
${}x^{2}=7$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine Lösung und eine Nichtlösung für die Gleichung

{}5x^{3}+3x^{2}+4x+5=11x^{2}+7x+7\,.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche Umformungsregeln für Gleichungen kennen Sie? Handelt es sich um Äquivalenzumformungen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche Lösungen aus ${}\mathbb {N}$ für die folgenden Gleichungen.

${}2x+3=5x$ ,
${}2x=x^{2}$ ,
${}9x=x^{3}$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung

{}n^{3}-n^{2}\leq 20\,

innerhalb der natürlichen Zahlen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

{}P(x)=6x^{3}+5x^{2}+4\,

und

{}Q(y)=y^{2}+3y+7\,.

Ersetze im Term ${}Q(y)$ die Variable ${}y$ durch ${}6$ . Das Ergebnis sei ${}a$ .
Ersetze im Term ${}P(x)$ die Variable ${}x$ durch ${}a$ .
Ersetze im Term ${}P(x)$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}Q(y)$ . Das Ergebnis sei ${}R(y)$ .
Ersetze im Term ${}R(y)$ die Variable ${}y$ durch ${}6$ .

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Einsetzungen

${}B*_{2}A$ ,
${}D*_{3}D$ ,
${}(A*_{3}B)*_{4}C$ ,
${}(D*_{2}B)*_{2}B$ .

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}v\geq u\geq 0$ natürliche Zahlen. Zeige, dass

x=v^{2}-u^{2},\,y=2uv,\,z=u^{2}+v^{2}

die Gleichung

{}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,

erfüllen.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde in ${}\mathbb {N}$ alle Lösungen der Gleichung

{}xy=24\,.

Markiere die Lösungsmenge als Teilmenge im ${}\mathbb {N} ^{2}$ .

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon L\rightarrow M$ eine Abbildung. Zu jedem ${}y\in M$ gehört die Gleichung

{}f(x)=y\,

in der Variablen ${}x$ . Charakterisiere die Injektivität und die Surjektivität von ${}f$ durch Eigenschaften des Lösungsverhalten dieser Gleichungen. Was kann man sagen, wenn ${}x\in L$ fixiert ist und die Gleichung in der Variablen ${}y$ betrachtet wird?