Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex
\setcounter{section}{42}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
Wenn in den folgenden Aufgaben Wurzelausdrücke vorkommen, so ist damit gemeint, dass man sich in einem angeordneten Körper befindet, in dem es diese (positiven) Wurzeln gibt.
\inputaufgabe
{}
{
Vergleiche \mathkor {} {\sqrt[10]{10}} {und} {\sqrt[3]{2}} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge $5$ durch drei Quadrate mit Seitenlänge $4$ überdecken?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erläutere, warum die Schreibweise
\mathl{x^{ { \frac{ 1 }{ k } } }}{} für die $k$-te Wurzel aus $x$ sinnvoll ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathl{\sqrt[12]{2}^2 \cdot \sqrt[6]{2}^5}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es in $\Q$ kein Element $x$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^2
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
eindeutigen Primfaktorzerlegung
von natürlichen Zahlen, dass die
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{}
\definitionsverweis {irrational}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ist die Zahl
\mathl{\sqrt{7} + \sqrt{7}}{} rational?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ist die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 11 } } }} { }
rational?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln
\mathl{\sqrt{n} }{,}
\mathl{ n \in \N }{,} als Länge von \anfuehrung{natürlichen}{} Strecken vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $a \in K$. Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es in $\Z/(5)$ vier Lösungen für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^4
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man konstruiere einen \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$, in dem die $4$ mindestens drei \definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt[2]{2},\, \sqrt[3]{3} ,\, \sqrt[4]{4} ,\, \sqrt[5]{5}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass in $K$ die \zusatzklammer {positiven} {} {} Elemente \mathkor {} {8^{1/2}} {und} {25^{1/3}} {} existieren. Welches ist größer?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{2} + \sqrt{7} \text{ und } \sqrt{3} + \sqrt{5}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mathl{a,b,c \in K_+}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq }{b
}
{ \geq }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt{ a+b} + \sqrt{a-b}
}
{ \leq} { \sqrt{ a+c} + \sqrt{a-c}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Quadrate und ihre
\definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{}
im Restklassenkörper
\mathl{\Z/(13)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
mit
\mathl{\sqrt{n} \in K_+}{,} wobei
\mathl{n \in \N}{} keine Quadratzahl sei. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ p+q \sqrt{n} \mid p,q \in \Q \right\} }
}
{ \subseteq} { K
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Menge
\mathdisp {K={ \left\{ p+q \sqrt{5} \mid p,q \in \Q \right\} }} { , }
wobei $\sqrt{5}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.
a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass $\sqrt{5}^2=5$ ist und dass $K$ zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} wird.
b) Definiere eine \definitionsverweis {Ordnung}{}{} derart, dass $K$ zu einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} wird und dass $\sqrt{5}$ positiv wird.
c) Fasse die Elemente von $K$ als Punkte im $\Q^2$ auf. Skizziere eine Trennlinie im $\Q^2$, die die positiven von den negativen Elementen in $K$ trennt.
d) Ist das Element $23-11 \sqrt{5}$ positiv oder negativ?
}
{} {}
Zu einem kommutativen Ring $R$ bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit $R^{\times}$ bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^{\times}
}
{ = }{ K \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Quadrate}{}{} in $K^{\times}$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $K^{\times}$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Quadrate}{}{} in $K^{\times}$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $K_+$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q^2
}
{ \subseteq }{ \Q_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\zusatzklammer {multiplikative} {} {}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei $\sim$ die zugehörige
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $\Q_+$. Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist
\zusatzklammer {die $1$ erfülle diese Eigenschaft} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \mid a,b \in \Q \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (\Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungsechs{Zeige, dass $R$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{\operatorname{Mat}_{ 2 } (\Q)}{}
\zusatzklammer {bezüglich der Addition} {} {}
ist.
}{Zeige, dass $R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
}{Zeige, dass $R$ die rationalen $\Q$ als Diagonalmatrizen enthält.
}{Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}{Zeige, dass $R$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist.
}{Zeige, dass $R$ eine Quadratwurzel zu $-1$ enthält.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 7 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } \sqrt{5} \right) } \cdot { \left( { \frac{ 4 }{ 5 } } + { \frac{ 5 }{ 3 } } \sqrt{5} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt[3]{5} + { \frac{ 2 }{ 5 } } { \left( \sqrt[3]{5} \right) }^2 \right) } \cdot { \left( - 4 + { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt[3]{5 }+ { \frac{ 2 }{ 3 } } { \left( \sqrt[3]{5} \right) }^2 \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
$K$ enthalte die Wurzeln
\mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {.}
Zeige, dass $K$ auch
\mathl{\sqrt[21]{2}}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke
\mathdisp {\sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[4]{5}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ x \in K_+ \mid \text{Es gibt ein } m \in \N_+ \text{ mit } x^m \in \Q \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(K_+,1,\cdot)}{} bildet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt $c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf
$\Q_+ \times \N_+$
die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(p,m)
}
{ \sim }{ (q,n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p^n
}
{ = }{q^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { ( \Q_+ \times \N)/\sim
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Quotientenmenge}{}{.}
Zeige, dass auf $Q$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ (p,m) ] \cdot [(q,n)]
}
{ \defeq} { [ ( p^n q^m, nm) ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.
}{Zeige, dass $Q$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist.
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,}
in dem es zu jedem
\mathl{p \in \Q_+}{} und jedes
\mathl{m \in \N_+}{} die Wurzel
\mathl{\sqrt[m]{p}}{} gibt. Zeige, dass die Zuordnung
\maabbeledisp {} {Q} {K_+
} {[(p,m)]} { \sqrt[m]{p}
} {,}
ein wohldefinierter
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme die Quadrate und ihre
\definitionsverweis {Quadratwurzeln}{}{}
im Restklassenkörper
\mathl{\Z/(19)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{,} $a \in K$ und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
höchstens zwei Lösungen in $K$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass es in $\Z/(7)$ sechs Lösungen für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^6
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass man $\sqrt{3}$ nicht in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt{3}
}
{ =} { p + q \sqrt{2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{p,q \in \Q}{} schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{a,b}{} ganze Zahlen und
\mathl{x \in \Q}{} eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 +ax+b
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $x$ eine ganze Zahl ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
und
\mathbed {a \in K} {}
{a \geq 1} {}
{} {} {} {.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
positive ganze Zahlen. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sqrt[m]{a}
}
{ \leq} { \sqrt[n]{a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}