Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Die Pausenaufgabe

Wenn in den folgenden Aufgaben Wurzelausdrücke vorkommen, so ist damit gemeint, dass man sich in einem angeordneten Körper befindet, in dem es diese (positiven) Wurzeln gibt.

Aufgabe

Vergleiche ${}{\sqrt[{10}]{10}}$ und ${}{\sqrt[{3}]{2}}$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

Aufgabe

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

Aufgabe

Kann man ein Quadrat mit Seitenlänge ${}5$ durch drei Quadrate mit Seitenlänge ${}4$ überdecken?

Aufgabe

Erläutere, warum die Schreibweise ${}x^{\frac {1}{k}}$ für die ${}k$-te Wurzel aus ${}x$ sinnvoll ist.

Aufgabe

Berechne ${}{\sqrt[{12}]{2}}^{2}\cdot {\sqrt[{6}]{2}}^{5}$.

Aufgabe

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Q}$ kein Element ${}x$ mit ${}x^{2}=2$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {p}}$ irrational ist.

Aufgabe *

Ist die Zahl ${}{\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}$ rational?

Aufgabe *

Ist die reelle Zahl

${\sqrt {\frac {1}{11}}}$

rational?

Aufgabe *

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a\in K$. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Z} /(5)$ vier Lösungen für die Gleichung

${}x^{4}=1\,$

gibt.

Aufgabe

Man konstruiere einen kommutativen Ring ${}R$, in dem die ${}4$ mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.

Aufgabe

Vergleiche

${\sqrt[{2}]{2}},\,{\sqrt[{3}]{3}},\,{\sqrt[{4}]{4}},\,{\sqrt[{5}]{5}}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in ${}K$ die (positiven) Elemente ${}8^{1/2}$ und ${}25^{1/3}$ existieren. Welches ist größer?

Aufgabe

Vergleiche

${\sqrt {2}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a,b,c\in K_{+}$ mit ${}a\geq b\geq c$. Zeige

${}{\sqrt {a+b}}+{\sqrt {a-b}}\leq {\sqrt {a+c}}+{\sqrt {a-c}}\,.$

Aufgabe

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper mit ${}{\sqrt {n}}\in K_{+}$, wobei ${}n\in \mathbb {N}$ keine Quadratzahl sei. Zeige, dass

${}{\left\{p+q{\sqrt {n}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq K\,$

ein Körper ist.

Aufgabe

Betrachte die Menge

$K={\left\{p+q{\sqrt {5}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}},$

wobei ${}{\sqrt {5}}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ${}{\sqrt {5}}^{2}=5$ ist und dass ${}K$ zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass ${}K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass ${}{\sqrt {5}}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von ${}K$ als Punkte im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ auf. Skizziere eine Trennlinie im ${}\mathbb {Q} ^{2}$, die die positiven von den negativen Elementen in ${}K$ trennt.

d) Ist das Element ${}23-11{\sqrt {5}}$ positiv oder negativ?

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit ${}R^{\times }$ bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach ${}K^{\times }=K\setminus \{0\}$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in ${}K^{\times }$ eine Untergruppe von ${}K^{\times }$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in ${}K^{\times }$ eine Untergruppe von ${}K_{+}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} ^{2}\subseteq \mathbb {Q} _{+}$ die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei ${}\sim$ die zugehörige Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Q} _{+}$. Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die ${}1$ erfülle diese Eigenschaft).

Aufgabe

Wir betrachten die Menge

${}R={\left\{{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}}\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )\,.$

1. Zeige, dass ${}R$ eine Untergruppe von ${}\operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {Q} )$ (bezüglich der Addition) ist.
2. Zeige, dass ${}R$ unter der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist.
3. Zeige, dass ${}R$ die rationalen ${}\mathbb {Q}$ als Diagonalmatrizen enthält.
4. Zeige, dass ${}R$ ein kommutativer Ring ist.
5. Zeige, dass ${}R$ ein Körper ist.
6. Zeige, dass ${}R$ eine Quadratwurzel zu ${}-1$ enthält.

Aufgabe *

Berechne

${\left({\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {5}}\right)}\cdot {\left({\frac {4}{5}}+{\frac {5}{3}}{\sqrt {5}}\right)}.$

Aufgabe

Berechne

${\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-4+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{5}}+{\frac {2}{3}}{\left({\sqrt[{3}]{5}}\right)}^{2}\right)}.$

Aufgabe *

Ein angeordneter Körper ${}K$ enthalte die Wurzeln ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ und ${}{\sqrt[{7}]{2}}$. Zeige, dass ${}K$ auch ${}{\sqrt[{21}]{2}}$ enthält.

Aufgabe *

Drücke

${\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe

Drücke

${\sqrt[{3}]{6}}\cdot {\sqrt[{4}]{5}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass

${}U={\left\{x\in K_{+}\mid {\text{Es gibt ein }}m\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}x^{m}\in \mathbb {Q} \right\}}\,$

eine Untergruppe von ${}(K_{+},1,\cdot )$ bildet.

Aufgabe *

Wir betrachten Rechtecke mit dem konstanten Flächeninhalt ${}c$. Zeige, dass unter diesen Rechtecken das Quadrat den minimalen Umfang besitzt.

Aufgabe

Wir betrachten auf ${}\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ die Relation ${}(p,m)\sim (q,n)$, falls ${}p^{n}=q^{m}$ gilt.

1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
2. Es sei

   ${}Q=(\mathbb {Q} _{+}\times \mathbb {N} )/\sim \,$

   die zugehörige Quotientenmenge. Zeige, dass auf ${}Q$ durch

   ${}[(p,m)]\cdot [(q,n)]:=[(p^{n}q^{m},nm)]\,$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben ist.

3. Zeige, dass ${}Q$ eine kommutative Gruppe ist.
4. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, in dem es zu jedem ${}p\in \mathbb {Q} _{+}$ und jedes ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ die Wurzel ${}{\sqrt[{m}]{p}}$ gibt. Zeige, dass die Zuordnung

   $Q\longrightarrow K_{+},\,[(p,m)]\longmapsto {\sqrt[{m}]{p}},$

   ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(19)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Gleichung ${}x^{n}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Z} /(7)$ sechs Lösungen für die Gleichung

${}x^{6}=1\,$

gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht in der Form

${}{\sqrt {3}}=p+q{\sqrt {2}}\,$

mit ${}p,q\in \mathbb {Q}$ schreiben kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a,b$ ganze Zahlen und ${}x\in \mathbb {Q}$ eine Lösung der Gleichung

${}x^{2}+ax+b=0\,.$

Zeige, dass ${}x$ eine ganze Zahl ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a\in K$, ${}a\geq 1$. Es seien ${}m\geq n$ positive ganze Zahlen. Zeige

${}{\sqrt[{m}]{a}}\leq {\sqrt[{n}]{a}}\,.$