Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 51/latex
\setcounter{section}{51}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. \aufzaehlungzwei {Negiere \zusatzklammer {durch Umwandlung der Quantoren} {} {} die Eigenschaft, dass $f$ im Punkt $x$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist. } {Negiere die Eigenschaft, dass $f$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist. }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabb {f} {D} {\R
} {}
eine Funktion und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$f$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
in $a$.
}{Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-a }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ m } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(a) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt.
}{Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-a }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10^r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(a) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10^s } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R } {\R } {x} { \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{x} } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Melons_-_Fethiye_Market.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Melons_-_Fethiye_Market.jpg } {} {Palosirkka} {Commons} {CC-by-sa 2.0} {}
Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte $100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen $99$ und $101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { 2x^3-4x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {2x^3-4x^2+x-6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein explizites
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,a)
}
{ \leq} {\delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f(x),f(a) )
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge und sei
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(y)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus einem nichtleeren
\definitionsverweis {offenen Intervall}{}{}
$]x- \delta, x + \delta[$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ < }{ b
}
{ < }{ c
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
und es seien
\maabbdisp {g} {[a,b]} {\R
} {}
und
\maabbdisp {h} {[b,c]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g (b)
}
{ = }{ h(b)
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann die Funktion
\maabbdisp {f} {[a,c]} {\R
} {}
mit
\mathdisp {f(t) = g (t) \text{ für } t \leq b \text{ und } f(t) = h(t) \text{ für } t > b} { }
ebenfalls stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
derart gibt, dass $f$ auf jedem Intervall der Form $[0, \delta]$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sowohl positive als auch negative Werte annimmt.
}
{} {}
Ist eine solche Funktion \anfuehrung{zeichenbar}{?} Siehe auch
Aufgabe 54.25.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Teilmenge und
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Folge
\mathdisp {x_n = 5 \left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^3-4\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)^2+2\left( { \frac{ 2n+1 }{ n } } \right)-3} { }
für
\mathl{n \rightarrow \infty}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt{ { \frac{ 7n^2-4 }{ 3n^2-5n+2 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei rekursiv durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { \sqrt{ x_n+1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.
}
{} {}
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 47.40
hilfreich.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {dichte}{}{}
Teilmenge. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
durch die Werte auf $T$ eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise direkt die Rechenregeln aus Satz 51.9 \zusatzklammer {ohne Bezug auf das Folgenkriterium} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 2x^7-3 x \betrag { 6x^3-11 } }{ \betrag { 3x-5 } + \betrag { 4x^3-5x+1 } } } } {,} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{a \in \R}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {}
stetige Funktionen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ >} {g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathl{\delta >0}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ >} {g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in [a - \delta,a + \delta]}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten auf der Menge $C$ aller stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$ die folgende Relation: Es ist
\mathl{f \sim g}{,} falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion
\maabb {\alpha} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g \cdot \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
}{Zeige, dass aus
\mathl{f \sim g}{} folgt, dass die Nullstellenmenge von $f$ und von $g$ übereinstimmen.
}{Zeige, dass die beiden Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht zueinander äquivalent sind.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3+5x^2-3x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 100 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein explizites
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,a)
}
{ \leq} {\delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(f(x),f(a) )
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, für welche Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} 1 \text{ für } x \leq - 1 \, , \\ x^2 \text{ für } - 1< x < 2 \, , \\ -2x+7 \text{ für } x \geq 2 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Funktion
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} 1, \text{ falls } x \in \Q \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}} { }
in keinem Punkt $x \in \R$
\definitionsverweis {stetig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b_n
}
{ =} { 2a_n^4-6 a_n^3+a_n^2-5a_n+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierten
\definitionsverweis {Folge}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n
}
{ =} { { \frac{ 3n^3-5n^2+7 }{ 4n^3+2n-1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}