Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 51

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion.

1. Negiere (durch Umwandlung der Quantoren) die Eigenschaft, dass ${}f$ im Punkt ${}x$ stetig ist.
2. Negiere die Eigenschaft, dass ${}f$ stetig ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge, ${}f\colon D\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion und ${}a\in D$ ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}f$ ist stetig in ${}a$.
2. Zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ gibt es ein ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ derart, dass aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{m}}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$

   folgt.

3. Zu jedem ${}s\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ derart, dass aus

   ${}\vert {x-a}\vert \leq {\frac {1}{10^{r}}}\,$

   die Abschätzung

   ${}\vert {f(x)-f(a)}\vert \leq {\frac {1}{10^{s}}}\,$

   folgt.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto {\sqrt {x}},$

stetig ist.

Aufgabe

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte ${}100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen ${}99$ und ${}101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?

Aufgabe *

Es sei

${}f(x)=2x^{3}-4x+5\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x-3}\vert \leq {\frac {1}{800}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(3)}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe

Bestimme für die Funktion

${}f(x)=2x^{3}-4x^{2}+x-6\,$

im Punkt ${}a=1$ für ${}\epsilon ={\frac {1}{10}}$ ein explizites ${}\delta >0$ derart, dass aus

${}d(x,a)\leq \delta \,$

die Abschätzung

${}d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,$

folgt.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion. Es sei ${}x\in T$ ein Punkt mit ${}f(x)>0$. Zeige, dass dann auch ${}f(y)>0$ für alle ${}y\in T$ aus einem nichtleeren offenen Intervall ${}]x-\delta ,x+\delta [$ gilt.

Aufgabe

Es seien ${}a<b<c$ reelle Zahlen und es seien

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$h\colon [b,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}g(b)=h(b)$. Zeige, dass dann die Funktion

$f\colon [a,c]\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

$f(t)=g(t){\text{ für }}t\leq b{\text{ und }}f(t)=h(t){\text{ für }}t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

derart gibt, dass ${}f$ auf jedem Intervall der Form ${}[0,\delta ]$ mit ${}\delta >0$ sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Ist eine solche Funktion „zeichenbar“? Siehe auch Aufgabe 54.25.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine endliche Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}x,\,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0,\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

$x_{n}=5\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{3}-4\left({\frac {2n+1}{n}}\right)^{2}+2\left({\frac {2n+1}{n}}\right)-3$

für ${}n\rightarrow \infty$.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_{n}={\sqrt {\frac {7n^{2}-4}{3n^{2}-5n+2}}},\,n\in \mathbb {N} .$

Aufgabe

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei rekursiv durch ${}x_{0}=1$ und

${}x_{n+1}={\sqrt {x_{n}+1}}\,$

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 47.41 hilfreich.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine dichte Teilmenge. Zeige, dass eine stetige Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ durch die Werte auf ${}T$ eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe

Beweise direkt die Rechenregeln aus Satz 51.8 (ohne Bezug auf das Folgenkriterium).

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {2x^{7}-3x\vert {6x^{3}-11}\vert }{\vert {3x-5}\vert +\vert {4x^{3}-5x+1}\vert }},$

stetig ist.

Aufgabe *

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit

${}f(a)>g(a)\,.$

Zeige, dass es ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass

${}f(x)>g(x)\,$

für alle ${}x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ gilt.

Aufgabe *

Wir betrachten auf der Menge ${}C$ aller stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ die folgende Relation: Es ist ${}f\sim g$, falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion ${}\alpha \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

${}f=g\cdot \alpha \,$

gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeige, dass aus ${}f\sim g$ folgt, dass die Nullstellenmenge von ${}f$ und von ${}g$ übereinstimmen.
3. Zeige, dass die beiden Funktionen

   ${}f(x)=x\,$

   und

   ${}g(x)=x^{2}\,$

   nicht zueinander äquivalent sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

${}f(x)=x^{3}+5x^{2}-3x+2\,$

im Punkt ${}a=3$ für ${}\epsilon ={\frac {1}{100}}$ ein explizites ${}\delta >0$ derart, dass aus

${}d(x,a)\leq \delta \,$

die Abschätzung

${}d(f(x),f(a))\leq \epsilon \,$

folgt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, für welche Punkte ${}x\in \mathbb {R}$ die durch

$f(x)={\begin{cases}1{\text{ für }}x\leq -1\,,\\x^{2}{\text{ für }}-1<x<2\,,\\-2x+7{\text{ für }}x\geq 2\,,\end{cases}}$

definierte Funktion stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

$f(x)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}x\in \mathbb {Q} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

in keinem Punkt ${}x\in \mathbb {R}$ stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

$b_{n}=2a_{n}^{4}-6a_{n}^{3}+a_{n}^{2}-5a_{n}+3,$

definierten Folge, wobei

$a_{n}={\frac {3n^{3}-5n^{2}+7}{4n^{3}+2n-1}}$

ist.