Kurs:Invariantentheorie (Bochum 2003)/Vorlesung 9

Klassifikation von Formen und ihren Nullstellengebilden

(insbesonders vom Grad 2,3 in 3 Variablen)

Form vom Grad ${}d$ in ${}n$ Variablen = homogenes Polynom von ...

$d=2,\;n=2:aX^{2}+bXY+cY^{2}=F$

quadratische binäre Form

Potenz - Anzahl von Variablen

$d=2,\;n=3:aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}+dXY+eXZ+fYZ$

quadratische ternäre Form 6 Parameter = 6-dim. Raum

$a=3,\;n=3:aX^{3}+bY^{2}+cZ^{2}\quad \ldots XYZ$

kubische ternäre Form (10 Parameter)

${}\mathbb {P} ^{2}$

glatt

singulär

prog. Nullstellengebilde

$V_{+}(F)\subseteq \mathbb {P} ^{2}=\{(x,y,z);F(x,y,z)=0\}$

gleich unter einer ??? Transformation (der umgebenen projektiven Ebene)

(Aufgabe der Invariantentheorie: Welche sind gleich?)

Erlaubte Transformationen

$GL_{3}(\mathbb {C} )\ni T$

${\begin{array}{l}X\longmapsto a_{n1}X+a_{n2}Y+a_{n3}Z\\Y\longmapsto \ldots \\Z\longmapsto \ldots \end{array}}$

$F=aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}+\ldots \longmapsto a(a_{n1}X+a_{n2}Y+a_{n3}Z)^{2}+\ldots$

= neue quadratische Form

Quadratische Form

Welche können ineinander überführt werden?

${\begin{array}{ccc}GL_{3}(\mathbb {C} )&\hookrightarrow &GL_{6}(\mathbb {C} )\\\cup \\SL_{3}(\mathbb {C} )\end{array}}$

Satz

1. Unter der ${}GL_{n}(\mathbb {C} )$ ist jede quadratische Form in ${}n$ Variablen äquivalent (überführbar) zu ${}X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2}$ ${}0\leq k\leq n$
2. Under den ${}SL_{n}(\mathbb {C} )$ ist jede quadratische Form äquivalent zu ${}X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2}$ ${}k<n$ oder ${}aX_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots +X_{n}^{2},\;a\neq 0$.

Beweis

(i) zur quadratischen Form gehört die symmetrische Matrix

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}^{2}+\sum _{i<j}a_{ij}X_{i}Y_{j}$

${\begin{pmatrix}a_{1}&&&&\\&\ddots &&{\frac {1}{2}}a_{ij}\\&{\frac {1}{2}}a_{ij}&&\ddots \\&&&&a_{n}\end{pmatrix}}$

Hauptachsentransformationsatz Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.

(Anzahl der Nullen (in den Diagonalen?) bestimmt durch ${}n$)

(ii) ??? quadratische Form nach (i) mittels ${}T\in GL_{n}(\mathbb {C} )$ auf die beschriebene Form bringen

1. Fall

${}X_{1}^{2}+\ldots +X_{k}^{2},\;k<n$

$X_{n}\longmapsto {\frac {1}{(det\,T)}}X_{n}=T'$

${}T'T\in SL_{n}(\mathbb {C} )$

2. Fall

$X_{1}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}\longmapsto {\left({\frac {1}{(det\,T)}}\right)}^{2}X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}$

$X_{1}\longmapsto {\frac {1}{(det\,T)}}X_{1}.$

$\Box$

Unter ${}GL_{n}(\mathbb {C} )$ nur die Konstruktion als invariante Polynome.

Unter ${}SL_{n}(\mathbb {C} )$ ist ${}det{\begin{pmatrix}a_{1}&&{\frac {1}{2}}a_{ij}\\&\ddots &\\{\frac {1}{2}}a_{ij}&&a_{n}\end{pmatrix}}$

${}SL_{n}(\mathbb {C} )$-invariant und ??? den Invariantenring

$\mathbb {C} ^{n}{\overleftarrow {\rightarrow }}\mathbb {C}$

$\sigma :a\mapsto aX_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\ldots +X_{n}^{2}$

${\begin{array}{ccc}\mathbb {C} ^{n}&\longrightarrow &\mathbb {C} \\&\searrow &\downarrow \\&&\mathbb {C} \end{array}}$

auf ??? ${}{\mathcal {C}}'=e\circ \sigma$

${}{\mathcal {C}}\circ det=e\circ \underbrace {\sigma \circ det} _{=id}={\mathcal {C}}$

${}{\begin{aligned}n=2&:{\mathcal {C}}^{3}\longrightarrow \mathbb {C} \\&\,(a,b,c)\longmapsto ac-b^{2}\end{aligned}}$

$aX^{2}+bXY+cY^{2}$

${\begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix}}$

${}A_{1}$-singulär ${}ac-b^{2}=0$ singuläre Form ${}\cong X^{2}$

${}n=3:\mathbb {C} ^{6}$

diskr. ${}=0$ 5-dimensonaler Raum (Eine Gleichung in einem 6-dimensionalen Raum.

1. äquivalent zu ${}x_{1}^{2}$ 3-dimensonal
2. 0-Form 0-dimensional

quadratisch ??? Fall, Nullstellengebilde in ${}\mathbb {P} ^{2}$

glatt ${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}$

${}X^{2}+Y^{2}=(X+iY)(X-iY)$

${}X^{2}$

Kubische Formenn

${}F=aX^{3}+bX^{3}+cX^{3}+\ldots$

Was f"ur Nullstellengebilde treten auf?

1. ${}F=$ Produkt von 3 Linearformen ${}L_{1},L_{2},L_{3}$. (a1) ${}L_{1}=L_{2}=L_{3}:X^{3}$ (a2) ${}L_{1}=L_{2}\neq L_{3}:X^{2}Y$ (a3) ${}L_{i}\neq L_{j},i\neq j$:
   1.  ??? ${}L_{1},L_{2},L_{3}$ u.a.

      $XY(X+Y)$

      ??? heißt im Projektiven, sie haben einen Punkt gemeinsam

   2. und ${}L_{1},L_{2},L_{3}$ ???

      $XYZ$

   3. ${}F=Q\cdot L$ induzibles quadratisches lineares Nullstellengebilde, glatter Kern, Gerade, Möglichkeiten

   
   

   
   

2. gibt es im Komplexen nicht; es gibt immer eine Nullstelle (in ${}\mathbb {R}$ ???) ${}=Q$ quadratische Form (Skalarpr.)

   $F=(X^{2}+YZ)L,\;L=rX+SY+tZ$

   1. Fall: ${}{\left(L,L\right)}_{Q}=0$

   generell: sind ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ Linearformen mit ${}{\left(L_{1},L_{1}\right)}_{Q}{\left(L_{2},L_{2}\right)}_{Q}$, dann gibt es ${}Q$-invariante Abbildungen ${}L_{1}\longrightarrow L_{2}$.

   Ersetze ${}L$ durch ${}Y$

   $\rightsquigarrow (X^{2}+YZ)Y.$

   2. Fall: ${}{\left(L,L\right)}_{Q}=a\neq 0$

   ${}{\sqrt {a}}X$ hat auch ${}Q$-???

   Ersetze ${}L$ durch ${}{\sqrt {a}}X$

   $\rightsquigarrow (X^{2}+YZ){\sqrt {a}}X.$

   durch Transformation

   $(X^{2}+YZ)X$

3. ${}F$ induziebel ${}F=Y^{2}Z-X^{3}$ ???

   $F=Y^{2}Z+X^{3}-X^{2}Z\;???{\text{ singulär}}$

   $F=Y^{2}Z-X^{3}-aX^{2}Z-bXZ^{2}-cZ^{3}$

   elliptische Kurven, ${}a,b,c$ ??? glatt

Achtung: Die elliptischen Kurven sind nicht alle unteinander durche eine ${}GL_{3}(\mathbb {C} )$ Matrix überführbar.

Weierstrass-Form

$Y^{2}=X^{3}+AX+B$

nicht homogen

(zug. Homogeniesierung ${}ZY^{2}=X^{3}+AXZ^{2}+BZ^{3}$ )

${}A,B$ nicht eindeutig

${}Y\longmapsto \not {c}\not {x}+by$ ${}a=0$ ??? ${}\rightsquigarrow X^{2}$ Widerspruch

${}Y\longmapsto cx+\not {d}\not {x}$ ${}a=0$ ??? ${}\rightsquigarrow Y^{3}$ Widerspruch

nur solche Transformationen können W-Formen in W-Formen? überführen.

${}{\left(by\right)}^{2}={\left(cx\right)}^{3}+Acx+B$

$\iff y^{2}={\dfrac {{\left(cx\right)}^{3}}{b^{2}}}+\underbrace {\dfrac {Ac}{b^{2}}} _{=A'}+\underbrace {\dfrac {B}{b^{2}}} _{=B'}{\text{ und }}{\dfrac {c^{3}}{b^{2}}}=1\Rightarrow c=n^{2},b=n^{3},n\neq 0$

erlaubt nun:

${}x\longmapsto n^{2}x\;n^{4}A'=A$

${}y\longmapsto n^{3}y\;n^{6}b'=B$

${}K[A,B]$

Invariant:

- Konstante

- rational ??? der Form

${}{\frac {A^{3}}{B^{2}}},{\frac {B^{2}}{A^{3}}}$

${}\Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})$

${}n^{12}\Delta '=\Delta$

${}\Delta \neq 0$ ??? Kurve ist glatt (sodass)

${}{\frac {A^{3}}{\Delta }}$ invariant und auf allen elliptischen Kurven definiert

${}b$-invariat ${}=1728(4A)^{3}/\Delta$

klassifiziert elliptische Kurven