Kurs:Körper- und Galoistheorie/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	2	0	0	0	0	4	0	0	5	6	0	23

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Das Teilen in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Die Ordnung eines Elementes  ${}g\in G$  in einer Gruppe ${}G$.
3. Ein Algebraautomorphismus auf einer ${}K$- Algebra ${}A$.
4. Der ${}n$-te Kreisteilungskörper (über ${}\mathbb {Q}$).
5. Ein auflösbares Polynom ${}F\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
6. Der rationale Funktionenkörper in ${}n$ Variablen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Homomorphiesatz für Gruppen (Satz vom induzierten Homomorphismus).
2. Das Eisensteinsche Irreduzibilitätskriterium (über ${}\mathbb {Z}$ bzw. ${}\mathbb {Q}$).
3. Die Transzendenzgradformel.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz, dass der Kern eines Gruppenhomomorphismus ein Normalteiler ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Galoisgruppe zu endlichen Körpern.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

a) Skizziere zwei Kreise, die sich in genau einem Punkt schneiden.

b) Es seien zwei Punkte  ${}M_{1}\neq M_{2}$  in der Ebene ${}E$ gegeben. Ein Punkt  ${}P\in E$  definiert den Kreis ${}K_{1}$ mit Mittelpunkt ${}M_{1}$ durch ${}P$ und den Kreis ${}K_{2}$ mit Mittelpunkt ${}M_{2}$ durch ${}P$. Charakterisiere, wann die beiden Kreise genau einen Schnittpunkt besitzen.

c) Beweise die Charakterisierung aus b).

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.

Aufgabe (0 Punkte)