Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(7)$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_5 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom
\mathl{X^6-1}{} über
\mathl{\Z/(p)}{} in Linearfaktoren zerfällt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte den Körper
\mathl{K=\mathbb F_4= \Z/(2)[U]/(U^2+U+1)}{.} Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision
\mathdisp {X^4 +uX^3+ (u+1) X+1\text{ durch } uX^2+X+u+1} { }
aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathl{F=X^3+X+2}{} in
\mathl{\Z/(5) [X]}{.}

b) Zeige, dass durch
\mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { }
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mathl{F=X^3+X+2}{} über
\mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Primkörper}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass $p$ genau dann ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(p)}{} ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und
\mathl{R=\operatorname{C}^0 \, (X, \R)}{} der Ring der stetigen Funktionen auf $X$. Es sei
\mathl{T \subseteq X}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I }
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f\vert_T=0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist. Definiere einen \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} {R/I} {\operatorname{C}^0 \, (T, \R) } {.} Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} \mathkor {} {(\Q,0,+)} {und} {(\Q_+,1, \cdot)} {} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \Q[ { \mathrm i} ]^{\times} } { (\Q_+,1, \cdot) } {z = x+ { \mathrm i} y} { \betrag { z }^2 = x^2+y^2 } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Multiplikation in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{} eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } + { \frac{ 4 }{ 5 } } { \mathrm i} }
{ \in }{S^1_\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(11)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mathl{d \geq p}{.} Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mathl{a \in \Z/(p)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ =} {g(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q }
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen
\mathl{ S^1_\Q}{} und
\mathl{\Q/\Z}{} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { \Q[ { \mathrm i} ]^{\times} } { (\Q_+,1, \cdot) } {x+ { \mathrm i} y} { x^2+y^2 } {,} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}