Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(7)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_5 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen $p$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom
\mathl{X^6-1}{} über
\mathl{\Z/(p)}{} in Linearfaktoren zerfällt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Betrachte den Körper
\mathl{K=\mathbb F_4= \Z/(2)[U]/(U^2+U+1)}{.} Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision
\mathdisp {X^4 +uX^3+ (u+1) X+1\text{ durch } uX^2+X+u+1} { }
aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms
\mathl{F=X^3+X+2}{} in
\mathl{\Z/(5) [X]}{.}
b) Zeige, dass durch
\mathdisp {K = \Z/(5)[T]/(T^2-2)} { }
ein Körper mit $25$ Elementen gegeben ist.
c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von
\mathl{F=X^3+X+2}{} über
\mathl{K= \Z/(5) [T]/(T^2-2)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Primkörper}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Beweise durch Induktion den
kleinen Fermat,
also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathbed {p \in R} {}
{p \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass $p$ genau dann ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{} ist, wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/(p)}{} ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mathl{R=\operatorname{C}^0 \, (X, \R)}{} der Ring der stetigen Funktionen auf $X$. Es sei
\mathl{T \subseteq X}{} eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid f\vert_T=0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$ ist. Definiere einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {R/I} {\operatorname{C}^0 \, (T, \R)
} {.}
Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die beiden \definitionsverweis {kommutativen Gruppen}{}{} \mathkor {} {(\Q,0,+)} {und} {(\Q_+,1, \cdot)} {} nicht \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \Q[ { \mathrm i} ]^{\times} } { (\Q_+,1, \cdot) } {z = x+ { \mathrm i} y} { \betrag { z }^2 = x^2+y^2 } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Multiplikation in
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]}{} eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 5 } } + { \frac{ 4 }{ 5 } } { \mathrm i}
}
{ \in }{S^1_\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(11)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} { g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\Q
}
{ =} { { \left\{ z \in \Q[ { \mathrm i} ] \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der rationale Einheitskreis mit der aus
\mathl{\Q[ { \mathrm i} ]^{\times}}{} ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen
\mathl{ S^1_\Q}{} und
\mathl{\Q/\Z}{} nicht
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { \Q[ { \mathrm i} ]^{\times} } { (\Q_+,1, \cdot) } {x+ { \mathrm i} y} { x^2+y^2 } {,} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
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