Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 7

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe *

Berechne in .


Aufgabe

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen mit der Eigenschaft, dass das Polynom über in Linearfaktoren zerfällt.


Aufgabe *

Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision

aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.


Aufgabe

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms in .

b) Zeige, dass durch

ein Körper mit Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von über .


Aufgabe

Bestimme sämtliche Primkörper.


Aufgabe

Sei eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ein Vielfaches von für jede ganze Zahl ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und , . Zeige, dass genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Aufgabe

Sei ein topologischer Raum und der Ring der stetigen Funktionen auf . Es sei eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

ein Ideal in ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?


Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

mit der Multiplikation in eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Es sei

der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei eine Primzahl und sei ein Polynom mit Koeffizienten in vom Grad . Zeige, dass es ein Polynom mit einem Grad derart gibt, dass für alle Elemente die Gleichheit

gilt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

nicht surjektiv ist.


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