Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 7

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe *

Berechne ${}3^{1457}$ in ${}{\mathbb {Z} }/(13)$.

Aufgabe

Bestimme im Polynomring ${}F_{5}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}3$.

Aufgabe

Bestimme die fünf kleinsten Primzahlen ${}p$ mit der Eigenschaft, dass das Polynom ${}X^{6}-1$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$ in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe *

Betrachte den Körper ${}K=\mathbb {F} _{4}=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)$. Führe im Polynomring ${}K[X]$ die Polynomdivision

$X^{4}+uX^{3}+(u+1)X+1{\text{ durch }}uX^{2}+X+u+1$

aus, wobei ${}u$ die Restklasse von ${}U$ in ${}K$ bezeichnet.

Aufgabe

a) Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms ${}F=X^{3}+X+2$ in ${}\mathbb {Z} /(5)[X]$.

b) Zeige, dass durch

$K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$

ein Körper mit ${}25$ Elementen gegeben ist.

c) Bestimmen die Primfaktorzerlegung von ${}F=X^{3}+X+2$ über ${}K=\mathbb {Z} /(5)[T]/(T^{2}-2)$.

Aufgabe

Bestimme sämtliche Primkörper.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}p\in R$, ${}p\neq 0$. Zeige, dass ${}p$ genau dann ein Primelement ist, wenn der Restklassenring ${}R/(p)$ ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}R=\operatorname {C} ^{0}\,(X,\mathbb {R} )$ der Ring der stetigen Funktionen auf ${}X$. Es sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass die Teilmenge

${}I={\left\{f\in R\mid f\vert _{T}=0\right\}}\,$

ein Ideal in ${}R$ ist. Definiere einen Ringhomomorphismus

$R/I\longrightarrow \operatorname {C} ^{0}\,(T,\mathbb {R} ).$

Ist dieser immer injektiv? Surjektiv?

Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ und ${}(\mathbb {Q} _{+},1,\cdot )$ nicht isomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,z=x+{\mathrm {i} }y\longmapsto \vert {z}\vert ^{2}=x^{2}+y^{2},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

mit der Multiplikation in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

der rationale Einheitskreis mit der aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von ${}{\frac {3}{5}}+{\frac {4}{5}}{\mathrm {i} }\in S_{\mathbb {Q} }^{1}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die multiplikative Ordnung aller Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(11)$.

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring ${}F_{3}[X]$ alle irreduziblen Polynome vom Grad ${}4$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}f(x)$ ein Polynom mit Koeffizienten in ${}\mathbb {Z} /(p)$ vom Grad ${}d\geq p$. Zeige, dass es ein Polynom ${}g(x)$ mit einem Grad ${}<p$ derart gibt, dass für alle Elemente ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ die Gleichheit

${}f(a)=g(a)\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,$

der rationale Einheitskreis mit der aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen ${}S_{\mathbb {Q} }^{1}$ und ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ nicht isomorph sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,x+{\mathrm {i} }y\longmapsto x^{2}+y^{2},$

nicht surjektiv ist.