Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ der
\definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{}
des Polynoms
\mathl{X^2+1 \in \R[X]}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{P=X^2+aX+b \in K[X]}{} ein quadratisches Polynom über einem Körper $K$. Welche Möglichkeiten gibt es für den
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $P$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_1 , \ldots , F_r
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Polynome. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
derart gibt, dass diese Polynome in
\mathl{L[X]}{} in Linearfaktoren zerfallen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathl{F\in K[X]}{} ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$. Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ \leq} {n !
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{X^n-a \in \Q[X]}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gerade. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von
\mathl{X^n-a}{} maximal den Grad
\mathl{{ \frac{ n! }{ 2 } }}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{q \in \Q}{} eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{}
und es sei $L$ der
\definitionsverweis {Zerfällungs\-körper}{}{} von $X^3-q$. Welchen Grad besitzt $L$
\zusatzklammer {über $\Q$} {} {?}
Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{X^3-3X+1
}
{ \in }{\Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} nach
Aufgabe 3.17
und definiert daher eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { \Q[X]/ { \left( X^3-3X+1 \right) }
}
{ \defeqr} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$3$. Die Restklasse von $X$ in $L$ sei mit $\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus $L$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \beta
}
{ =} { \alpha^2 -2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ =} { - \alpha^2 - \alpha + 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Nullstellen von $F$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{F \in \Q[X]}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
zu $F$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
den Körper $L$ in sich überführt, also ein Element in der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} definiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte
\zusatzklammer {dabei ist $p$ eine Primzahl} {} {.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
ist, den man den \stichwort {Frobeniushomomorphismus} {} nennt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
der einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
enthalte. Zeige, dass die $e$-te
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {F} {R} {R
} {f} {f^p
} {,}
durch
\mathl{f \mapsto f^q}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $p$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} ein \definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$. Sei
\maabb {F} {K} {K
} {}
der
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass genau die Elemente aus
\mathl{\Z/(p)}{} invariant unter $F$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathbb F}_{ q }$ der
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elementen. Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
in der
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von ${\mathbb F}_{ q }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mathbed {q=p^n} {}
{n \geq 2} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass
\mathl{\Z/(p^n)}{} kein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über
\mathl{\Z/(p)}{} sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{} von
\mathdisp {2X^7+X^6+2X^5+X^4+X^3+X^2+2 \in \Z/(3) [X]} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {positiven Charakteristik}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die Menge der Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[T]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\definitionsverweis {formaler Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\mathbb F_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus $\mathbb F_q^{\times}$ ein Quadrat in $\mathbb F_q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^9-X \in \Z/(3)[X]}{} die Zerlegung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^9-X
}
{ =} { { \left( X^3-X \right) } { \left( X^8+X^6+X^4 +X^2+1 \right) }
}
{ =} { X(X-1)(X+1) { \left( X^2+1 \right) } { \left( X^2+2X+1 \right) } { \left( X^2+X+2 \right) } { \left( X^2+2X+2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
\mathdisp {\Z/(3)[X] /{ \left( X^2+1 \right) }, \, \Z/(3)[X] /{ \left( X^2+2X+1 \right) }, \, \Z/(3)[X] /{ \left( X^2+X+2 \right) }, \, \Z/(3)[X] /{ \left( X^2+2X+2 \right) }} { }
untereinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe den Körper mit acht Elementen $\mathbb F_8$ als einen Restklassenkörper von
\mathl{\Z/(2)[X]}{.} Man gebe eine primitive Einheit in $\mathbb F_8$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{c \in {\mathbb F}_{ q }}{} ein Nichtquadrat.
\aufzaehlungfuenf{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ q^2 }
}
{ \cong} { {\mathbb F}_{ q } [X]/ { \left( X^2-c \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zeige, dass es eine Kette von
\definitionsverweis {rein-quadratischen Erweiterungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p }
}
{ \subseteq} { {\mathbb F}_{ p^2 }
}
{ \subseteq} { {\mathbb F}_{ p^4 }
}
{ \subseteq} { {\mathbb F}_{ p^8 }
}
{ \subseteq} { {\mathbb F}_{ p^{16} }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ \subseteq} { \ldots
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
gibt.
}{Zeige, dass die Restklasse von $X$ in
\mathl{\Z/(3)[X]/ { \left( X^2-2 \right) }}{} ein Quadrat ist.
}{Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Restklasse $x$ von $X$ in
\mathl{{\mathbb F}_{ q } [X]/ { \left( X^2-c \right) }}{} ein Nichtquadrat ist.
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $a \in \Z/(p)$ ein Nichtquadrat. Zeige, dass
\mathl{Y^{2^n}-a}{} für alle
\mathl{n \geq 1}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde ein primitives Element in
\mathl{\Z/(11)}{} und in
\mathl{\Z/(121)}{.} Man gebe ferner ein Element der Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in
\mathl{\Z/(121)}{} an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in
\mathl{{\mathbb F}_{121}}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein Polynom
\mathl{X^3+aX+b}{} genau dann keine mehrfachen Nullstellen
\zusatzklammer {und zwar auch nach keiner
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}} {} {}
besitzt, wenn die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
\mathl{4a^3 + 27b^2}{} von $0$ verschieden ist.
}
{} {Verwende
Aufgabe 11.29.}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Konstruiere
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{} mit
\mathl{64,81,121,125}{} und
\mathl{128}{} Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e,d
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige:
\mathl{{\mathbb F}_{ p^d }}{} ist genau dann ein Unterkörper von
\mathl{{\mathbb F}_{ p^e }}{}, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${\mathbb F}_q$ der zugehörige
\definitionsverweis {endliche Körper}{}{.} Zeige, dass in
\mathl{{\mathbb F}_{q^2}}{} jedes Element aus ${\mathbb F}_q$ ein Quadrat ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde einen Erzeuger der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} mit $27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das
\definitionsverweis {formale Ableiten}{}{}
\mathl{F \mapsto F'}{:}
\aufzaehlungdrei{Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$.
}{Die Ableitung ist
$K$-\definitionsverweis {linear}{}{.}
}{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (FG)'
}
{ =} {FG'+F'G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Ein Element
\mathl{a \in K}{} heißt \definitionswort {mehrfache Nullstelle}{} eines Polynoms
\mathl{P\in K[X]}{,} wenn in der Primfaktorzerlegung von $P$ das lineare Polynom
\mathl{X-a}{} mit einem Exponenten $\geq 2$ vorkommt.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{F \in K[X]}{} und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {mehrfache Nullstelle}{}{}
von $F$ ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F'(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $F'$ die
\definitionsverweis {formale Ableitung}{}{}
von $F$ bezeichnet.
}
{} {}