Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 11

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen der Zerfällungskörper des Polynoms ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratisches Polynom über einem Körper . Welche Möglichkeiten gibt es für den Zerfällungskörper von ?


Aufgabe

Es sei ein Körper und seien Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung derart gibt, dass diese Polynome in in Linearfaktoren zerfallen.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein Polynom vom Grad und der Zerfällungskörper von . Zeige, dass die Abschätzung

gilt.


Aufgabe *

Es sei mit gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörper von maximal den Grad besitzt.


Aufgabe

Es sei eine rationale Zahl und es sei der Zerfällungskörper von . Welchen Grad besitzt (über )? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.


Aufgabe *

Das Polynom ist irreduzibel nach Aufgabe 3.17 und definiert daher eine Körpererweiterung

vom Grad . Die Restklasse von in sei mit bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus

und

Nullstellen von sind.


Aufgabe *

Es sei und der Zerfällungskörper zu . Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe definiert.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Zeige, dass die -te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus

durch mit gegeben ist.


Aufgabe

Sei ein endlicher Körper der Charakteristik . Zeige, dass der Frobeniushomomorphismus ein Körperautomorphismus ist.


Aufgabe

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Sei der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus invariant unter sind.


Aufgabe

Sei der Körper mit Elementen. Bestimme die Ordnung des Frobeniushomomorphismus in der Automorphismengruppe von .


Aufgabe

Sei eine Primzahl und , . Zeige, dass kein Vektorraum über sein kann.


Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von


Aufgabe

Sei ein Körper der positiven Charakteristik . Bestimme die Menge der Polynome mit formaler Ableitung .


Aufgabe *

Sei ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich . Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ein Quadrat in ist.


Aufgabe

Zeige, dass das Polynom die Zerlegung

besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige, dass die Restklassenkörper

untereinander isomorph sind.


Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit acht Elementen als einen Restklassenkörper von . Man gebe eine primitive Einheit in an.


Aufgabe *

Es sei eine ungerade Primzahl. Es sei und ein Nichtquadrat.

  1. Zeige
  2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

    gibt.

  3. Zeige, dass die Restklasse von in ein Quadrat ist.
  4. Es sei nun . Zeige, dass die Restklasse von in ein Nichtquadrat ist.
  5. Es sei und sei ein Nichtquadrat. Zeige, dass für alle irreduzibel ist.


Aufgabe *

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und . Zeige: ist genau dann ein Unterkörper von , wenn ein Vielfaches von ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine echte Primzahlpotenz und der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in jedes Element aus ein Quadrat ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten :

  1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist .
  2. Die Ableitung ist -linear.
  3. Es gilt die Produktregel, also


Es sei ein Körper. Ein Element heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms , wenn in der Primfaktorzerlegung von das lineare Polynom mit einem Exponenten vorkommt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei und . Zeige, dass genau dann eine mehrfache Nullstelle von ist, wenn ist, wobei die formale Ableitung von bezeichnet.



<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)