Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 11

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen $ℂ$ der Zerfällungskörper des Polynoms  $X^2+1\in ℝ[X]$  ist.

Aufgabe

Es sei  $P=X^2+aX+b\in K[X]$  ein quadratisches Polynom über einem Körper $K$. Welche Möglichkeiten gibt es für den Zerfällungskörper von $P$?

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und seien  $F_1,\dots ,F_r\in K[X]$  Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq L$  derart gibt, dass diese Polynome in $L[X]$ in Linearfaktoren zerfallen.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,  $F\in K[X]$  ein Polynom vom Grad $n$ und  $K\subseteq L$  der Zerfällungskörper von $F$. Zeige, dass die Abschätzung

${\mathrm{grad}}_{K}L\le n!$

gilt.

Aufgabe *

Es sei  $X^n-a\in \mathbb{Q}[X]$  mit  $n\ge 4$  gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörper von $X^n-a$ maximal den Grad $\frac{n!}{2}$ besitzt.

Aufgabe

Es sei  $q\in \mathbb{Q}$  eine rationale Zahl und es sei $L$ der Zerfällungskörper von $X^3-q$. Welchen Grad besitzt $L$ (über $\mathbb{Q}$)? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.

Aufgabe *

Das Polynom  $F=X^3-3X+1\in \mathbb{Q}[X]$  ist irreduzibel nach Aufgabe 3.17 und definiert daher eine Körpererweiterung

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[X]/(X^3-3X+1)=:L$

vom Grad $3$. Die Restklasse von $X$ in $L$ sei mit $\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus $L$

$\beta ={\alpha }^2-2$

und

$\gamma =-{\alpha }^2-\alpha +2$

Nullstellen von $F$ sind.

Aufgabe *

Es sei  $F\in \mathbb{Q}[X]$  und  $\mathbb{Q}\subseteq L\subseteq ℂ$  der Zerfällungskörper zu $F$. Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper $L$ in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe $\mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q})$ definiert.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  $p>0$  enthalte (dabei ist $p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R⟶R,f⟼f^p,$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  $p>0$  enthalte. Zeige, dass die $e$-te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus

$F:R⟶R,f⟼f^p,$

durch $f\mapsto f^q$ mit  $q=p^e$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein endlicher Körper der Charakteristik $p$. Zeige, dass der Frobeniushomomorphismus ein Körperautomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik $p$. Sei $F:K\to K$ der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus $\mathbb{Z}/(p)$ invariant unter $F$ sind.

Aufgabe

Es sei ${𝔽}_q$ der Körper mit  $q=p^e$  Elementen. Bestimme die Ordnung des Frobeniushomomorphismus in der Automorphismengruppe von ${𝔽}_q$.

Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und $q=p^n$, $n\ge 2$. Zeige, dass $\mathbb{Z}/(p^n)$ kein Vektorraum über $\mathbb{Z}/(p)$ sein kann.

Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von

$2X^7+X^6+2X^5+X^4+X^3+X^2+2\in \mathbb{Z}/(3)[X].$

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der positiven Charakteristik  $p>0$.  Bestimme die Menge der Polynome  $F\in K[T]$  mit formaler Ableitung  $F^{\prime }=0$. 

Aufgabe *

Es sei ${𝔽}_q$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich $2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${𝔽}_q^{\times }$ ein Quadrat in ${𝔽}_q$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom  $X^9-X\in \mathbb{Z}/(3)[X]$  die Zerlegung

$\begin{array}{cc}{X}^9-X& =(X^3-X)(X^6+X^4+X^2+1)\\ & =X(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^4+1)\\ & =X(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2+X+2)(X^2+2X+2)\end{array}$

besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige, dass die Restklassenkörper

$\mathbb{Z}/(3)[X]/(X^2+1),\mathbb{Z}/(3)[X]/(X^2+X+2),\mathbb{Z}/(3)[X]/(X^2+2X+2)$

untereinander isomorph sind.

Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${𝔽}_8$ als einen Restklassenkörper von $\mathbb{Z}/(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${𝔽}_8$ an.

Aufgabe *

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Es sei  $q=p^e$  und $c\in {𝔽}_q$ ein Nichtquadrat.

1. Zeige

   ${𝔽}_{q^2}\cong {𝔽}_q[X]/(X^2-c).$

2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

   ${𝔽}_p\subseteq {𝔽}_{p^2}\subseteq {𝔽}_{p^4}\subseteq {𝔽}_{p^8}\subseteq {𝔽}_{p^{16}}\subseteq \dots$

   gibt.

3. Zeige, dass die Restklasse von $X$ in $\mathbb{Z}/(3)[X]/(X^2-2)$ ein Quadrat ist.
4. Es sei nun  $p=1mod4$.  Zeige, dass die Restklasse $x$ von $X$ in ${𝔽}_q[X]/(X^2-c)$ ein Nichtquadrat ist.
5. Es sei  $p=1mod4$  und sei $a\in \mathbb{Z}/(p)$ ein Nichtquadrat. Zeige, dass $Y^{2^n}-a$ für alle $n\ge 1$ irreduzibel ist.

Aufgabe *

Finde ein primitives Element in $\mathbb{Z}/(11)$ und in $\mathbb{Z}/(121)$. Man gebe ferner ein Element der (multiplikativen) Ordnung $10$ und ein Element der Ordnung $11$ in $\mathbb{Z}/(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung $10$ und der Ordnung $11$ auch in ${𝔽}_{121}$?

Aufgabe *

Zeige, dass ein Polynom $X^3+aX+b$ genau dann keine mehrfachen Nullstellen (und zwar auch nach keiner Körpererweiterung) besitzt, wenn die Diskriminante $4a^3+27b^2$ von $0$ verschieden ist.

Verwende Aufgabe 11.29.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit $64,81,121,125$ und $128$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $p$ eine Primzahl und  $e,d\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige: ${𝔽}_{p^d}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${𝔽}_{p^e}$, wenn $e$ ein Vielfaches von $d$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei $q$ eine echte Primzahlpotenz und ${𝔽}_q$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${𝔽}_{q^2}$ jedes Element aus ${𝔽}_q$ ein Quadrat ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit $27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten $F\mapsto F^{\prime }$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist $0$.
2. Die Ableitung ist $K$-linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   $(FG{)}^{\prime }=F{G}^{\prime }+F^{\prime }G.$

Es sei $K$ ein Körper. Ein Element $a\in K$ heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms $P\in K[X]$, wenn in der Primfaktorzerlegung von $P$ das lineare Polynom $X-a$ mit einem Exponenten $\ge 2$ vorkommt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Es sei  $F\in K[X]$  und  $a\in K$.  Zeige, dass $a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von $F$ ist, wenn  $F^{\prime }(a)=0$  ist, wobei $F^{\prime }$ die formale Ableitung von $F$ bezeichnet.