Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 11

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass der Körper der komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ der Zerfällungskörper des Polynoms  ${}X^{2}+1\in \mathbb {R} [X]$  ist.

Aufgabe

Es sei  ${}P=X^{2}+aX+b\in K[X]$  ein quadratisches Polynom über einem Körper ${}K$. Welche Möglichkeiten gibt es für den Zerfällungskörper von ${}P$?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien  ${}F_{1},\ldots ,F_{r}\in K[X]$  Polynome. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  derart gibt, dass diese Polynome in ${}L[X]$ in Linearfaktoren zerfallen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper,  ${}F\in K[X]$  ein Polynom vom Grad ${}n$ und  ${}K\subseteq L$  der Zerfällungskörper von ${}F$. Zeige, dass die Abschätzung

${}\operatorname {grad} _{K}L\leq n!\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei  ${}X^{n}-a\in \mathbb {Q} [X]$  mit  ${}n\geq 4$  gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörper von ${}X^{n}-a$ maximal den Grad ${}{\frac {n!}{2}}$ besitzt.

Aufgabe

Es sei  ${}q\in \mathbb {Q}$  eine rationale Zahl und es sei ${}L$ der Zerfällungskörper von ${}X^{3}-q$. Welchen Grad besitzt ${}L$ (über ${}\mathbb {Q}$)? Man gebe für jeden möglichen Grad Beispiele an.

Aufgabe *

Das Polynom  ${}F=X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$  ist irreduzibel nach Aufgabe 3.17 und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen von ${}F$ sind.

Aufgabe *

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ und  ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$  der Zerfällungskörper zu ${}F$. Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper ${}L$ in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ definiert.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung von endlichen Körpern. Zeige, dass dies eine einfache Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$  enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$  enthalte. Zeige, dass die ${}e$-te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus

$F\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

durch ${}f\mapsto f^{q}$ mit  ${}q=p^{e}$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p$. Zeige, dass der Frobeniushomomorphismus ein Körperautomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p$. Sei ${}F\colon K\rightarrow K$ der Frobeniushomomorphismus. Zeige, dass genau die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ invariant unter ${}F$ sind.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der Körper mit  ${}q=p^{e}$  Elementen. Bestimme die Ordnung des Frobeniushomomorphismus in der Automorphismengruppe von ${}{\mathbb {F} }_{q}$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}q=p^{n}$, ${}n\geq 2$. Zeige, dass ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ kein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$ sein kann.

Aufgabe

Bestimme die formale Ableitung von

${}2X^{7}+X^{6}+2X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+2\in \mathbb {Z} /(3)[X]\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$.  Bestimme die Menge der Polynome  ${}F\in K[T]$  mit formaler Ableitung  ${}F'=0$. 

Aufgabe *

Es sei ${}\mathbb {F} _{q}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich ${}2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${}\mathbb {F} _{q}^{\times }$ ein Quadrat in ${}\mathbb {F} _{q}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass das Polynom ${}X^{9}-X\in \mathbb {Z} /(3)[X]$ die Zerlegung

${}{\begin{aligned}X^{9}-X&={\left(X^{3}-X\right)}{\left(X^{8}+X^{6}+X^{4}+X^{2}+1\right)}\\&=X(X-1)(X+1){\left(X^{2}+1\right)}{\left(X^{2}+2X+1\right)}{\left(X^{2}+X+2\right)}{\left(X^{2}+2X+2\right)}\end{aligned}}$

besitzt, wobei die Faktoren in der zweiten Zerlegung irreduzibel sind. Zeige, dass die Restklassenkörper

$\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+1\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+2X+1\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+X+2\right)},\,\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}+2X+2\right)}$

untereinander isomorph sind.

Aufgabe *

Beschreibe den Körper mit acht Elementen ${}\mathbb {F} _{8}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{8}$ an.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Es sei  ${}q=p^{e}$  und ${}c\in {\mathbb {F} }_{q}$ ein Nichtquadrat.

1. Zeige

   ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}\cong {\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}\,.$

2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

   ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{2}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{4}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{8}}\subseteq {\mathbb {F} }_{p^{16}}\subseteq \ldots \,$

   gibt.

3. Zeige, dass die Restklasse von ${}X$ in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]/{\left(X^{2}-2\right)}$ ein Quadrat ist.
4. Es sei nun  ${}p=1\mod 4$.  Zeige, dass die Restklasse ${}x$ von ${}X$ in ${}{\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c\right)}$ ein Nichtquadrat ist.
5. Es sei  ${}p=1\mod 4$  und sei ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ ein Nichtquadrat. Zeige, dass ${}Y^{2^{n}}-a$ für alle ${}n\geq 1$ irreduzibel ist.

Aufgabe *

Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und in ${}\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${}10$ und ein Element der Ordnung ${}11$ in ${}\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${}10$ und der Ordnung ${}11$ auch in ${}{\mathbb {F} }_{121}$?

Aufgabe *

Zeige, dass ein Polynom ${}X^{3}+aX+b$ genau dann keine mehrfachen Nullstellen (und zwar auch nach keiner Körpererweiterung) besitzt, wenn die Diskriminante ${}4a^{3}+27b^{2}$ von ${}0$ verschieden ist.

Verwende Aufgabe 11.29.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit ${}64,81,121,125$ und ${}128$ Elementen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und  ${}e,d\in \mathbb {N} _{+}$.  Zeige: ${}{\mathbb {F} }_{p^{d}}$ ist genau dann ein Unterkörper von ${}{\mathbb {F} }_{p^{e}}$, wenn ${}e$ ein Vielfaches von ${}d$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Sei ${}q$ eine echte Primzahlpotenz und ${}{\mathbb {F} }_{q}$ der zugehörige endliche Körper. Zeige, dass in ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}$ jedes Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein Quadrat ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit ${}27$ Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Beweise die folgenden Rechenregeln für das formale Ableiten ${}F\mapsto F'$:

1. Die Ableitung eines konstanten Polynoms ist ${}0$.
2. Die Ableitung ist ${}K$- linear.
3. Es gilt die Produktregel, also

   ${}(FG)'=FG'+F'G\,.$

Es sei ${}K$ ein Körper. Ein Element ${}a\in K$ heißt mehrfache Nullstelle eines Polynoms ${}P\in K[X]$, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${}P$ das lineare Polynom ${}X-a$ mit einem Exponenten ${}\geq 2$ vorkommt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei  ${}F\in K[X]$  und  ${}a\in K$.  Zeige, dass ${}a$ genau dann eine mehrfache Nullstelle von ${}F$ ist, wenn  ${}F'(a)=0$  ist, wobei ${}F'$ die formale Ableitung von ${}F$ bezeichnet.