Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{M}{} eine Menge von
\definitionsverweis {Ringhomomorphismen}{}{} von $L$ nach $L$. Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = x \text { für alle } \varphi \in M \right\} }} { }
ein Unterkörper von $L$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} es sei
\mathl{M}{} eine Menge von
\definitionsverweis {Automorphismen}{}{} von $L$ nach $L$ und es sei $H$ die von $M$
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der Automorphismengruppe. Zeige die Gleichheit
\mathdisp {\operatorname{Fix}\, ( H ) = { \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = x \text { für alle } \varphi \in M \right\} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{G=\operatorname{Aut} \,L}{} die
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von $L$. Begründe die folgenden Beziehungen.
\aufzaehlungvier{Für
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
\mathl{H_1 \subseteq H_2 \subseteq G}{} ist
\mathl{\operatorname{Fix}\, ( H_1 ) \supseteq \operatorname{Fix}\, ( H_2 )}{.}
}{Für
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
\mathl{M_1 \subseteq M_2 \subseteq L}{} ist
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M_1 ) \supseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M_2 )}{.}
}{Für eine Untergruppe
\mathl{H \subseteq G}{} ist
\mathl{H \subseteq \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \operatorname{Fix}\, ( H ) )}{.}
}{Für einen Unterkörper
\mathl{M \subseteq L}{} ist
\mathl{M \subseteq \operatorname{Fix}\, ( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) )}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $H$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
von
\definitionsverweis {Kör\-perautomorphismen}{}{.}
Es sei
\mathl{x \in K}{.} Zeige, dass
\mathdisp {\sum_{\varphi \in H} \varphi(x) \text{ und } \prod_{\varphi \in H} \varphi(x)} { }
zum
\definitionsverweis {Fixkörper}{}{}
\mathl{\operatorname{Fix}\, ( H )}{} gehören.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} ein \definitionsverweis {Automorphismus}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $\varphi$ auf den \definitionsverweis {Prim\-körper}{}{} von $L$ die Identität ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 11.8 mit Hilfe von Fixkörpern.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathbed {q=p^e} {}
{e \geq 1} {}
{} {} {} {,}
eine Primzahlpotenz. Beweise mit Hilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus
Satz 16.6,
dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_p \subseteq {\mathbb F}_q}{}
\definitionsverweis {galoissch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_q} {{\mathbb F}_q
} {}
bezüglich einer geeigneten
${\mathbb F}_p$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von ${\mathbb F}_q$ für
\mathl{p=2}{} und
\mathl{q=4}{} bzw.
\mathl{q=8}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_{49}} {{\mathbb F}_{49} } {} bezüglich einer geeigneten ${\mathbb F}_7$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von ${\mathbb F}_{49}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass zwischen
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} und der Multiplikationsabbildung
\mathbed {\mu_f} {}
{f \in L} {}
{} {} {} {,}
beide aufgefasst als
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
von $L$ nach $L$, weder die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu_{ \varphi(f)}
}
{ =} { \mu_f \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
noch die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_{ \varphi(f)}
}
{ =} { \varphi \circ \mu_f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und es sei
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ein
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {Multiplikationsabbildungen}{}{}
zu $f \in L$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\mu_{ \varphi(f)}
}
{ =} { \varphi \circ \mu_f \circ \varphi^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {L'} {} \definitionsverweis {isomorphe}{}{} \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Automorphismengruppen}{}{} \mathkor {} {\operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L \right) }} {und} {\operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L' \right) }} {} in natürlicher Weise zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{} von $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
des
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\Phi} {{\mathbb F}_q} {{\mathbb F}_q
} {}
bezüglich einer geeigneten
${\mathbb F}_p$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von ${\mathbb F}_q$ für
\mathl{p=3}{} und
\mathl{q=9}{} bzw.
\mathl{q=27}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {zyklischen}{}{}
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{.}
Zeige, dass für jeden Zwischenkörper $M$ auch die Erweiterung
\mathl{K \subseteq M}{} galoissch ist mit einer ebenfalls zyklischen Galoisgruppe.
}
{} {}