Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 2/latex
\setcounter{section}{2}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass $L$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Grad}{}{}
der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$1$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im Körper $\Q[\sqrt{7}]$ das Produkt
\mathdisp {(-2 + \sqrt{7} ) \cdot (4- \sqrt{7})} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in $\Q[\sqrt{ 7 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $2 +5 \sqrt{ 7 }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente, die eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$ bilden. Sei
\mathbed {x \in L} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xv_1 , \ldots , xv_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $K$-Basis von $L$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und es sei
\mathl{K \subset L}{} eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass es dann ein
\mathbed {x \in L} {}
{x \notin K} {}
{} {} {} {,}
mit
\mathl{x^2 \in K}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^3+pX+q
}
{ \in }{ \Q[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die
Formel von Cardano
eine Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} {K
}
{ \subseteq} {L
}
{ \subseteq} {M
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von
\definitionsverweis {endlichen Körpererweiterungen}{}{}
von \anfuehrung{möglichst kleinem}{}
\definitionsverweis {Grad}{}{,}
sodass $M$ alle Nullstellen und alle \anfuehrung{Hilfszahlen}{,} die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ = }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} über $\R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bildet.
}
{(Dieser Körper wird mit
\mathl{\R(X)}{} bezeichnet.)} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ die Menge der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in $K$. Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$K^{\times}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3-3x+1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
der Cardanoschen Formel
und drücke diese Lösungen mit Hilfe der neunten primitiven komplexen Einheitswurzel aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1,b_2
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Lösungen der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_2
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist ihr Quotient
\mathl{b_1/b_2}{} eine $n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.}
} {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{.}
Zeige, dass dann auch $K[ { \mathrm i} ]$ ein Unterkörper von ${\mathbb C}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme in $\Q[\sqrt{ 11 }]$ das \definitionsverweis {Inverse}{}{} von $3 +5 \sqrt{ 11 }$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $L$. Zeige, dass die Multiplikation auf $L$ durch die Produkte
\mathbeddisp {x_i x_j} {}
{1 \leq i\leq j \leq n} {}
{} {} {} {,}
eindeutig festgelegt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {\Q \subseteq K \subset {\mathbb C}} {und} {\Q \subseteq L \subset {\mathbb C}} {}
zwei
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{}
von $\Q$ vom Grad
\mathkor {} {d} {bzw.} {e} {.} Es seien
\mathkor {} {d} {und} {e} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K \cap L
}
{ =} { \Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass man $\sqrt{3}$ nicht als $\Q$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{} von \mathkor {} {1} {und} {\sqrt{2}} {} schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${ \mathrm i}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R
}
{ \subseteq }{ \R(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $\R(X)$ den
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
bezeichnet, nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}
{} {}