Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 2

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass $L$ ein $K$-Vektorraum ist.

Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung  $ℝ\subseteq ℂ$. 

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $1$. Zeige, dass  $L=K$  ist.

Aufgabe

Berechne im Körper $\mathbb{Q}[\sqrt{7}]$ das Produkt

$(-2+\sqrt{7})\cdot (4-\sqrt{7}).$

Aufgabe

Bestimme in $\mathbb{Q}[\sqrt{7}]$ das Inverse von $2+5\sqrt{7}$.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und seien  $v_1,\dots ,v_n\in L$  Elemente, die eine $K$-Basis von $L$ bilden. Sei $x\in L$, $x\ne 0$. Zeige, dass auch  $x{v}_1,\dots ,x{v}_n\in L$  eine $K$-Basis von $L$ bilden.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper mit einer Charakteristik $\ne 2$ und es sei $K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein $x\in L$, $x\notin K$, mit $x^2\in K$ gibt.

Aufgabe

Es sei  $X^3+pX+q\in \mathbb{Q}[X]$  und es seien  ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\in ℂ$  die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette

$\mathbb{Q}\subseteq K\subseteq L\subseteq M$

von endlichen Körpererweiterungen von „möglichst kleinem“ Grad, sodass $M$ alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?

Aufgabe

Es sei  $ℂ\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige  $ℂ=L$. 

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq ℝ$  nicht endlich ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Funktionen über $ℝ$ einen Körper bildet.

(Dieser Körper wird mit $ℝ(X)$ bezeichnet.)

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,  $n\in \mathbb{N}$  und sei $M$ die Menge der $n$-ten Einheitswurzeln in $K$. Zeige, dass $M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe $K^{\times }$ ist.

Aufgabe *

Bestimme die Lösungen der Gleichung

$x^3-3x+1=0$

mit der Cardanoschen Formel und drücke diese Lösungen mithilfe der neunten primitiven komplexen Einheitswurzel aus.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,  $a\in K$  und  $n\in \mathbb{N}$.  Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn  $b_1,b_2\in K$  zwei Lösungen der Gleichung  $X^n=a$  sind und  $b_2\ne 0$,  so ist ihr Quotient $b_1/b_2$ eine $n$-te Einheitswurzel.
2. Wenn  $b\in K$  eine Lösung der Gleichung  $X^n=a$  und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung  $X^n=a$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $K\subseteq ℝ$  ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch $K[\mathrm{i}]$ ein Unterkörper von $ℂ$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in $\mathbb{Q}[\sqrt{11}]$ das Inverse von $3+5\sqrt{11}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei  $x_1,\dots ,x_n\in L$  eine $K$-Basis von $L$. Zeige, dass die Multiplikation auf $L$ durch die Produkte

$x_i{x}_j,1\le i\le j\le n,$

eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $\mathbb{Q}\subseteq K\subset ℂ$ und $\mathbb{Q}\subseteq L\subset ℂ$ zwei endliche Körpererweiterungen von $\mathbb{Q}$ vom Grad $d$ bzw. $e$. Es seien $d$ und $e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

$K\cap L=\mathbb{Q}$

ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass man $\sqrt{3}$ nicht als $\mathbb{Q}$-Linearkombination von $1$ und $\sqrt{2}$ schreiben kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von $\mathrm{i}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Körpererweiterung  $ℝ\subseteq ℝ(X)$,  wobei $ℝ(X)$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.