Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 2

Aufwärmaufgaben

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L$ ein ${}K$- Vektorraum ist.

Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}1$. Zeige, dass ${}L=K$ ist.

Aufgabe

Berechne im Körper ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Produkt

$(-2+{\sqrt {7}})\cdot (4-{\sqrt {7}}).$

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Inverse von ${}2+5{\sqrt {7}}$.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in L$ Elemente, die eine ${}K$- Basis von ${}L$ bilden. Sei ${}x\in L$, ${}x\neq 0$. Zeige, dass auch ${}xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L$ eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${}x\in L$, ${}x\notin K$, mit ${}x^{2}\in K$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}X^{3}+pX+q\in \mathbb {Q} [X]$ und es seien ${}\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}\in {\mathbb {C} }$ die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette

${}\mathbb {Q} \subseteq K\subseteq L\subseteq M\,$

von endlichen Körpererweiterungen von „möglichst kleinem“ Grad, sodass ${}M$ alle Nullstellen und alle „Hilfszahlen“, die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige ${}{\mathbb {C} }=L$.

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ nicht endlich ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der rationalen Funktionen über ${}\mathbb {R}$ einen Körper bildet.

(Dieser Körper wird mit ${}\mathbb {R} (X)$ bezeichnet.)

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}n\in \mathbb {N}$ und sei ${}M$ die Menge der ${}n$-ten Einheitswurzeln in ${}K$. Zeige, dass ${}M$ eine Untergruppe der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ ist.

Aufgabe *

Bestimme die Lösungen der Gleichung

${}x^{3}-3x+1=0\,$

mit der Cardanoschen Formel und drücke diese Lösungen mit Hilfe der neunten primitiven komplexen Einheitswurzel aus.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn ${}b_{1},b_{2}\in K$ zwei Lösungen der Gleichung ${}X^{n}=a$ sind und ${}b_{2}\neq 0$, so ist ihr Quotient ${}b_{1}/b_{2}$ eine ${}n$-te Einheitswurzel.
2. Wenn ${}b\in K$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$ und ${}\zeta$ eine ${}n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch ${}\zeta b$ eine Lösung der Gleichung ${}X^{n}=a$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq \mathbb {R}$ ein Unterkörper. Zeige, dass dann auch ${}K[{\mathrm {i} }]$ ein Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {11}}]$ das Inverse von ${}3+5{\sqrt {11}}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${}L$ durch die Produkte

$x_{i}x_{j},1\leq i\leq j\leq n,$

eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$. Es seien ${}d$ und ${}e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

${}K\cap L=\mathbb {Q} \,$

ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ schreiben kann.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${}{\mathrm {i} }$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)$, wobei ${}\mathbb {R} (X)$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.