Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 1,2 , \ldots , 10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für welche $k$ der durch
\mathdisp {\zeta_n \mapsto \zeta_n^k} { }
festgelegte Automorphismus des
\definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
\mathl{K_{ n }}{} ein Erzeuger der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K_{ n }$ der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
über $\Q$. Zeige, dass derjenige Automophismus von $K_{ n }$, der der Einheit
\mathl{-1 \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} entspricht, die Einschränkung der
\definitionsverweis {komplexen Konjugation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $n$ eine durch $4$ teilbare Zahl, $W_n$ die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln und $K_{ n }$ der $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{.} \aufzaehlungdrei{Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine Permutation von $W_n$? }{Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine $\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} auf $K_{ n }$? }{Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse einen $\Q$-\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{} auf $K_{ n }$? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ e^{ 2 \pi { \mathrm i} /10}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\zusatzklammer {alle?} {} {}
\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{}
\maabb {} { K_{ 10 } } { K_{ 10 }
} {,}
der $\zeta^3$ auf $\zeta^7$ abbildet. Wohin wird $\zeta^{9}$ abgebildet?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper $K_{ 5 }$ mit der
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1, \zeta, \zeta^2, \zeta^3}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta
}
{ = }{ e^{2 \pi { \mathrm i} / 5}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu
\mathbed {\zeta^i} {}
{i = 0,1,2,3} {}
{} {} {} {,}
bezüglich dieser Basis.
} {Bestimme die Matrizen zu den Elementen der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( K_{ 5 } {{|}} \Q )}{} bezüglich dieser Basis.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Zwischenkörper des $7$-ten
\definitionsverweis {Kreisteilungskörpers}{}{}
\mathl{K_{ 7 }}{.} Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für
\mathl{n \leq 12}{,} wie viele Unterkörper der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} $K_n$ besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K_{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{ K_{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abelsche Körpererweiterung}{}{}
ist, also eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe abelsch ist.
}
{} {}
Ein schwieriger Satz, der \stichwort {Satz von Kronecker-Weber} {,} besagt umgekehrt, dass man jede abelsche Körpererweiterung von $\Q$ als Unterkörper eines Kreisteilungskörpers realisieren kann.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Realisiere die folgenden Gruppen als
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
einer geeigneten
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{
\mathl{\Z/(4)}{,}
}{
\mathl{\Z/(2) \times \Z/(2)}{,}
}{
\mathl{\Z/(2) \times \Z/(4)}{,}
}{
\mathl{\Z/(8)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mathl{K_1K_2}{} zu zwei
\definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{}
\mathkor {} {K \subseteq K_1} {und} {K \subseteq K_2} {}
vom gewählten Oberkörper abhängen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {K \subseteq K_1} {und} {K \subseteq K_2} {}
zwei
\definitionsverweis {Körpererweiterungen}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
\mathkor {} {d_1} {bzw.} {d_2} {.}
Es sei
\mathl{K_1K_2}{} das in einem Oberkörper gebildete
\definitionsverweis {Kompositum}{}{.}
Zeige, dass die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} K_1K_2
}
{ \leq }{d_1d_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {K \subseteq K_1 \cong K[X]/F(X)} {und} {K \subseteq K_2 \cong K[Y]/G(Y)} {} zwei endliche \definitionsverweis {einfache Körpererweiterungen}{}{} von $K$.
a) Zeige, dass die
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{A=K[X,Y]/(F,G)}{} kein Körper sein muss.
b) Es sei
\mathl{K_1K_2}{} das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete
\definitionsverweis {Kompositum}{}{.}
Zeige, dass es einen surjektiven
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
von $A$ nach
\mathl{K_1K_2}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{{\mathbb F}_{q_1}}{} der Körper mit
\mathl{q_1=p^{e_1}}{} und
\mathl{{\mathbb F}_{q_2}}{} der Körper mit
\mathl{q_2=p^{e_2}}{} Elementen. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\zusatzklammer {unabhängig vom gewählten Oberkörper} {} {}
von
\mathkor {} {{\mathbb F}_{q_1}} {und} {{\mathbb F}_{q_2}} {}
gleich
\mathl{{\mathbb F}_{q}}{} mit
\mathl{q=p^e}{} und
\mathl{e= {\operatorname{KgV} \, \left( e_1,e_2 , \right) }}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H_1,H_2
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppen}{}{}
mit den zugehörigen
\definitionsverweis {Fixkörpern}{}{}
\mathkor {} {K_1 = \operatorname{Fix}\, ( H_1 )} {und} {K_2 = \operatorname{Fix}\, ( H_2 )} {.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\mathl{K_1K_2}{} gleich dem Fixkörper von
\mathl{H_1 \cap H_2}{} ist.
}
{} {}
Eine
\definitionsverweis {geordnete Menge}{}{}
\mathl{(M, \leq)}{} mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
\mathl{x \sqcap y}{} und ein
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
\mathl{x \sqcup y}{} existiert, heißt
\definitionswort {Verband}{.}
In den beiden folgenden Aufgaben geht es insbesondere auch darum, jeweils die Verknüpfungen
\mathkor {} {\sqcap} {und} {\sqcup} {}
zu definieren.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der \definitionsverweis {erzeugten Untergruppe}{}{} einen \definitionsverweis {Verband}{}{} bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{}
mit der Inklusion einen
\definitionsverweis {Verband}{}{}
bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
Es sei $V$ der
\definitionsverweis {Verband}{}{}
der
\definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{}
der Erweiterung und sei $W$ der Verband der Untergruppen der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Zeige, dass durch die
\definitionsverweis {Galoiskorrespondenz}{}{}
eine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
gegeben ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{K_{ n }}{} der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{,}
\mathl{n \geq 3}{.} Zeige, dass es einen Zwischenkörper
\mathbed {L} {}
{\Q \subseteq L \subseteq K_{ n }} {}
{} {} {} {,}
gibt, der eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
von $\Q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathl{K_{ n_1 }}{} und
\mathl{K_{ n_2 }}{} zwei
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} über $\Q$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Kompositum}{}{}
\zusatzklammer {unabhängig vom gewählten Oberkörper} {} {}
von
\mathkor {} {K_{ n_1 }} {und} {K_{ n_2 }} {}
gleich
\mathl{K_{ n }}{} ist, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ {\operatorname{KgV} \, \left( n_1 , n_2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien \mathkor {} {m} {und} {n} {} \definitionsverweis {teilerfremde}{}{} natürliche Zahlen. Zeige, dass das $n$-te \definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{} über dem $m$-ten \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{} $K_{ m }$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ und sei
\mathl{K \subseteq K(\zeta)}{} die
\definitionsverweis {Adjunktion}{}{} einer $n$-ten
\definitionsverweis {primitiven Einheitswurzel}{}{.} Zeige mit Hilfe von
Satz 20.7
und der Theorie der Kreisteilungskörper
\zusatzklammer {über $\Q$} {} {,} dass
\mathl{K \subseteq K(\zeta)}{} eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} ist, deren Galoisgruppe
\definitionsverweis {abelsch}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {K \subseteq K_1 \cong K[X]/F(X)} {und} {K \subseteq K_2 \cong K[Y]/G(Y)} {}
zwei endliche
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterungen}{}{}
von $K$, deren
\definitionsverweis {Grade}{}{}
teilerfremd seien. Zeige, dass die
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{A=K[X,Y]/(F,G)}{} ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathl{F_n}{} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_n
}
{ \leq }{ F_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}