Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 20

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme für jedes ${}n=1,2,\ldots ,10$, für welche ${}k$ der durch

$\zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{k}$

festgelegte Automorphismus des Kreisteilungskörpers ${}K_{n}$ ein Erzeuger der Galoisgruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass derjenige Automophismus von ${}K_{n}$, der der Einheit ${}-1\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ entspricht, die Einschränkung der komplexen Konjugation ist.

Aufgabe

Es sei ${}n$ eine durch ${}4$ teilbare Zahl, ${}W_{n}$ die Menge der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln und ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper.

1. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine Permutation von ${}W_{n}$?
2. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine ${}\mathbb {Q}$- lineare Abbildung auf ${}K_{n}$?
3. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse einen ${}\mathbb {Q}$- Körperautomorphismus auf ${}K_{n}$?

Aufgabe

Es sei ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/10}$. Bestimme den (alle?) Körperautomorphismus ${}K_{10}\rightarrow K_{10}$, der ${}\zeta ^{3}$ auf ${}\zeta ^{7}$ abbildet. Wohin wird ${}\zeta ^{9}$ abgebildet?

Aufgabe *

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper ${}K_{5}$ mit der ${}\mathbb {Q}$- Basis ${}1,\zeta ,\zeta ^{2},\zeta ^{3}$, wobei ${}\zeta =e^{2\pi {\mathrm {i} }/5}$ ist.

1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu ${}\zeta ^{i}$, ${}i=0,1,2,3$, bezüglich dieser Basis.
2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(K_{5}{|}\mathbb {Q} )$ bezüglich dieser Basis.

Aufgabe *

Bestimme die Zwischenkörper des ${}7$-ten Kreisteilungskörpers ${}K_{7}$. Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.

Aufgabe

Bestimme für ${}n\leq 12$, wie viele Unterkörper der ${}n$-te Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{n}$ ein Kreisteilungskörper und ${}L\subseteq K_{n}$ ein Zwischenkörper. Zeige, dass ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine abelsche Körpererweiterung ist, also eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe abelsch ist.

Ein schwieriger Satz, der Satz von Kronecker-Weber, besagt umgekehrt, dass man jede abelsche Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ als Unterkörper eines Kreisteilungskörpers realisieren kann.

Aufgabe *

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.

1. ${}\mathbb {Z} /(4)$,
2. ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$,
3. ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$,
4. ${}\mathbb {Z} /(8)$.

Aufgabe

Zeige, dass das Kompositum ${}K_{1}K_{2}$ zu zwei Körpererweiterungen ${}K\subseteq K_{1}$ und ${}K\subseteq K_{2}$ vom gewählten Oberkörper abhängen kann.

Aufgabe

Es seien ${}K\subseteq K_{1}$ und ${}K\subseteq K_{2}$ zwei Körpererweiterungen vom Grad ${}d_{1}$ bzw. ${}d_{2}$. Es sei ${}K_{1}K_{2}$ das in einem Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass die Abschätzung ${}\operatorname {grad} _{K}K_{1}K_{2}\leq d_{1}d_{2}$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}K\subseteq K_{1}\cong K[X]/F(X)$ und ${}K\subseteq K_{2}\cong K[Y]/G(Y)$ zwei endliche einfache Körpererweiterungen von ${}K$.

a) Zeige, dass die ${}K$- Algebra ${}A=K[X,Y]/(F,G)$ kein Körper sein muss.

b) Es sei ${}K_{1}K_{2}$ das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass es einen surjektiven ${}K$- Algebrahomomorphismus von ${}A$ nach ${}K_{1}K_{2}$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei ${}{\mathbb {F} }_{q_{1}}$ der Körper mit ${}q_{1}=p^{e_{1}}$ und ${}{\mathbb {F} }_{q_{2}}$ der Körper mit ${}q_{2}=p^{e_{2}}$ Elementen. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von ${}{\mathbb {F} }_{q_{1}}$ und ${}{\mathbb {F} }_{q_{2}}$ gleich ${}{\mathbb {F} }_{q}$ mit ${}q=p^{e}$ und ${}e={\operatorname {KgV} \,\left(e_{1},e_{2},\right)}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$ und es seien ${}H_{1},H_{2}\subseteq G$ Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern ${}K_{1}=\operatorname {Fix} \,(H_{1})$ und ${}K_{2}=\operatorname {Fix} \,(H_{2})$. Zeige, dass das Kompositum ${}K_{1}K_{2}$ gleich dem Fixkörper von ${}H_{1}\cap H_{2}$ ist.

Eine geordnete Menge ${}(M,\leq )$ mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente ${}x,y\in M$ ein Infimum ${}x\sqcap y$ und ein Supremum ${}x\sqcup y$ existiert, heißt Verband.

In den beiden folgenden Aufgaben geht es insbesondere auch darum, jeweils die Verknüpfungen ${}\sqcap$ und ${}\sqcup$ zu definieren.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Untergruppen einer Gruppe ${}G$ mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der erzeugten Untergruppe einen Verband bildet.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Menge der Zwischenkörper mit der Inklusion einen Verband bildet.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung. Es sei ${}V$ der Verband der Zwischenkörper der Erweiterung und sei ${}W$ der Verband der Untergruppen der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$. Zeige, dass durch die Galoiskorrespondenz eine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden ${}V$ und ${}W$ gegeben ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K_{n}$ der ${}n$-te Kreisteilungskörper, ${}n\geq 3$. Zeige, dass es einen Zwischenkörper ${}L$, ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq K_{n}$, gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}K_{n_{1}}$ und ${}K_{n_{2}}$ zwei Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von ${}K_{n_{1}}$ und ${}K_{n_{2}}$ gleich ${}K_{n}$ ist, wobei ${}n={\operatorname {KgV} \,\left(n_{1},n_{2}\right)}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}m$ und ${}n$ teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass das ${}n$-te Kreisteilungspolynom über dem ${}m$-ten Kreisteilungskörper ${}K_{m}$ irreduzibel ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq K(\zeta )$ die Adjunktion einer ${}n$-ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mit Hilfe von Satz 20.7 und der Theorie der Kreisteilungskörper (über ${}\mathbb {Q}$), dass ${}K\subseteq K(\zeta )$ eine Galoiserweiterung ist, deren Galoisgruppe abelsch ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}K\subseteq K_{1}\cong K[X]/F(X)$ und ${}K\subseteq K_{2}\cong K[Y]/G(Y)$ zwei endliche einfache Körpererweiterungen von ${}K$, deren Grade teilerfremd seien. Zeige, dass die ${}K$- Algebra ${}A=K[X,Y]/(F,G)$ ein Körper ist.

Aufgabe (6 Punkte)

Zu ${}n\geq 3$ sei ${}F_{n}$ der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen ${}n$-Eckes. Zeige ${}F_{n}\leq F_{n+1}$.