Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 20

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Bestimme für jedes , für welche der durch

festgelegte Automorphismus des Kreisteilungskörpers ein Erzeuger der Galoisgruppe ist.


Aufgabe

Es sei der -te Kreisteilungskörper über . Zeige, dass derjenige Automophismus von , der der Einheit entspricht, die Einschränkung der komplexen Konjugation ist.


Aufgabe

Es sei eine durch teilbare Zahl, die Menge der -ten komplexen Einheitswurzeln und der -te Kreisteilungskörper.

  1. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine Permutation von ?
  2. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse eine -lineare Abbildung auf ?
  3. Definiert die Spiegelung an der imaginären Achse einen -Körperautomorphismus auf ?


Aufgabe

Es sei . Bestimme den (alle?) Körperautomorphismus , der auf abbildet. Wohin wird abgebildet?


Aufgabe *

Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper mit der -Basis , wobei ist.

  1. Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu , , bezüglich dieser Basis.
  2. Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe bezüglich dieser Basis.


Aufgabe *

Bestimme die Zwischenkörper des -ten Kreisteilungskörpers . Dabei soll jeweils eine Restklassendarstellung explizit angegeben werden.


Aufgabe

Bestimme für , wie viele Unterkörper der -te Kreisteilungskörper besitzt und wie viele davon selbst Kreisteilungskörper sind.


Aufgabe

Es sei ein Kreisteilungskörper und ein Zwischenkörper. Zeige, dass eine abelsche Körpererweiterung ist, also eine Galoiserweiterung, deren Galoisgruppe abelsch ist.

Ein schwieriger Satz, der Satz von Kronecker-Weber, besagt umgekehrt, dass man jede abelsche Körpererweiterung von als Unterkörper eines Kreisteilungskörpers realisieren kann.

Aufgabe *

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe

Zeige, dass das Kompositum zu zwei Körpererweiterungen und vom gewählten Oberkörper abhängen kann.


Aufgabe

Es seien und zwei Körpererweiterungen vom Grad bzw. . Es sei das in einem Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass die Abschätzung gilt.


Aufgabe

Es sei ein Körper und es seien und zwei endliche einfache Körpererweiterungen von .

a) Zeige, dass die -Algebra kein Körper sein muss.

b) Es sei das in einem gemeinsamen Oberkörper gebildete Kompositum. Zeige, dass es einen surjektiven -Algebrahomomorphismus von nach gibt.


Aufgabe

Es sei eine Primzahl und sei der Körper mit und der Körper mit Elementen. Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von und gleich mit und ist.


Aufgabe

Es sei eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe und es seien Untergruppen mit den zugehörigen Fixkörpern und . Zeige, dass das Kompositum gleich dem Fixkörper von ist.


Eine geordnete Menge mit der Eigenschaft, dass für je zwei Elemente ein Infimum und ein Supremum existiert, heißt Verband.


In den beiden folgenden Aufgaben geht es insbesondere auch darum, jeweils die Verknüpfungen und zu definieren.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Untergruppen einer Gruppe mit der Inklusion, dem Durchschnitt von Untergruppen und der erzeugten Untergruppe einen Verband bildet.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Menge der Zwischenkörper mit der Inklusion einen Verband bildet.


Aufgabe

Es sei eine Galoiserweiterung. Es sei der Verband der Zwischenkörper der Erweiterung und sei der Verband der Untergruppen der Galoisgruppe . Zeige, dass durch die Galoiskorrespondenz eine bijektive antimonotone Abbildung zwischen den Verbänden und gegeben ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei der -te Kreisteilungskörper, . Zeige, dass es einen Zwischenkörper , , gibt, der eine quadratische Körpererweiterung von ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien und zwei Kreisteilungskörper über . Zeige, dass das Kompositum (unabhängig vom gewählten Oberkörper) von und gleich ist, wobei ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und teilerfremde natürliche Zahlen. Zeige, dass das -te Kreisteilungspolynom über dem -ten Kreisteilungskörper irreduzibel ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei die Adjunktion einer -ten primitiven Einheitswurzel. Zeige mit Hilfe von Satz 20.7 und der Theorie der Kreisteilungskörper (über ), dass eine Galoiserweiterung ist, deren Galoisgruppe abelsch ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und zwei endliche einfache Körpererweiterungen von , deren Grade teilerfremd seien. Zeige, dass die -Algebra ein Körper ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Zu sei der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen -Eckes. Zeige .



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