Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Was ist eigentlich ein \anfuehrung{Winkel}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele \definitionsverweis {konstruierbare}{}{} Punkte gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige auf möglichst viele verschiedene Arten, dass die Menge der konstruierbaren Zahlen auf dem komplexen Einheitskreis \definitionsverweis {dicht}{}{} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für alle
\mathl{n \leq 30}{,} ob das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal
\definitionsverweis {konstruierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen $n$ zwischen
\mathl{100}{} und
\mathl{200}{} mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche der Winkel
\mathdisp {10^{\circ}, \, 20^{\circ} , \, 30^{\circ} , \, 40^{\circ} , \ldots , 350^{\circ}} { }
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $n$ eine zu
\mathl{360}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel
\mathl{n^{\circ}}{} nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe einen Winkel
\mathbed {a^{\circ}} {}
{0 < a < 1} {}
{} {} {} {,}
an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} \definitionsverweis {konstruierbare Zahlen}{}{.} Zeige, dass die Menge der konstruierbaren Strahlen, die von $P$ ausgehen, in einer natürlichen Bijektion zur Menge der konstruierbaren Strahlen steht, die von $Q$ ausgehen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\beta}{} ein Winkel, der durch zwei konstruierbare
\zusatzklammer {Halb} {} {-}Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel $\beta$ konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{P \in \R^2}{} und
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
eine Drehung um den Drehpunkt $P$ um den Winkel
\mathbed {\beta} {}
{0^{\circ} < \beta < 360^{\circ}} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.
a) Zeige, dass $P$ ein konstruierbarer Punkt ist.
b) Zeige, dass der Drehwinkel $\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mathl{K_{ }}{} genau dann ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist, wenn sein Grad eine Zweierpotenz ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
für den
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mathl{K_{ 15 }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} für die konstruierbaren \definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Wir betrachten die Körperkette der
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq} { K_{ p }
}
{ \subseteq} { K_{ p^2 }
}
{ \subseteq} { K_{ p^3 }
}
{ \subseteq} { \ldots
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L_p
}
{ \defeq} { \bigcup_{r \in \N} K_{ p^r }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $L$ ein Körper ist.
}{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {endlich}{}{}
ist.
}{Für welche Primzahlen $p$ besteht $L_p$ nur aus
\definitionsverweis {konstruierbaren Zahlen}{}{?}
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos 3 \alpha
}
{ =} { 4 \cos^3 \alpha - 3 \cos \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus den
Additionstheoremen
für die trigonometrischen Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass es nicht für jede
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} einen
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
$K_n$ mit
\mathl{z \in K_n}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{n \in \N}{} eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke $S$ durch zwei Punkte
\mathl{P,Q \in E}{} gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges $n$-Eck $R$ derart, dass $S$ eine der Kanten von $R$ wird.
}
{} {Tipp:
Aufgabe 24.6
kann helfen.}
\inputaufgabe
{4}
{
Welche der Winkel
\mathdisp {1^{\circ}, \, 2^{\circ} , \, 3^{\circ} , \, 4^{\circ} , \ldots , 10^{\circ}} { }
sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
}
{} {}