Zum Inhalt springen

Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 27

Aus Wikiversity



Aufwärmaufgaben

Was ist eigentlich ein „Winkel“?



Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.



Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.



Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.



Zeige auf möglichst viele verschiedene Arten, dass die Menge der konstruierbaren Zahlen auf dem komplexen Einheitskreis dicht liegen.



Bestimme für alle , ob das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.



Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen zwischen und mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.



Welche der Winkel

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?



Es sei eine zu teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.



Man gebe einen Winkel , , an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.



Es seien und konstruierbare Zahlen. Zeige, dass die Menge der konstruierbaren Strahlen, die von ausgehen, in einer natürlichen Bijektion zur Menge der konstruierbaren Strahlen steht, die von ausgehen.



Es sei ein Winkel, der durch zwei konstruierbare (Halb)-Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.



Es sei und

eine Drehung um den Drehpunkt um den Winkel , , mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.



Zeige, dass ein Kreisteilungskörper genau dann ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist, wenn sein Grad eine Zweierpotenz ist.



Bestimme die Galoisgruppe für den Kreisteilungskörper .



Bestimme die Galoisgruppe für die konstruierbaren Kreisteilungskörper.



Es sei eine Primzahl. Wir betrachten die Körperkette der Kreisteilungskörper

Es sei

  1. Zeige, dass ein Körper ist.
  2. Zeige, dass die Körpererweiterung algebraisch, aber nicht endlich ist.
  3. Für welche Primzahlen besteht nur aus konstruierbaren Zahlen?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.



Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in .



Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es nicht für jede konstruierbare Zahl einen Kreisteilungskörper mit gibt.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke durch zwei Punkte gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges -Eck derart, dass eine der Kanten von wird.

Tipp: Aufgabe 24.6 kann helfen.


Aufgabe (4 Punkte)

Welche der Winkel

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?



<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)