Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 27

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Was ist eigentlich ein „Winkel“?

Aufgabe

Zeige, dass man jeden vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal halbieren kann.

Aufgabe

Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges Zwölfeck.

Aufgabe *

Zeige, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele konstruierbare Punkte gibt.

Aufgabe

Zeige auf möglichst viele verschiedene Arten, dass die Menge der konstruierbaren Zahlen auf dem komplexen Einheitskreis dicht liegen.

Aufgabe

Bestimme für alle ${}n\leq 30$, ob das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist oder nicht.

Aufgabe

Man gebe eine Liste aller natürlichen Zahlen ${}n$ zwischen ${}100$ und ${}200$ mit der Eigenschaft, dass das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe

Welche der Winkel

$10^{\circ },\,20^{\circ },\,30^{\circ },\,40^{\circ },\ldots ,350^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

Aufgabe *

Es sei ${}n$ eine zu ${}360$ teilerfremde natürliche Zahl. Zeige, dass der Winkel ${}n^{\circ }$ nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe *

Man gebe einen Winkel ${}a^{\circ }$, ${}0<a<1$, an, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Aufgabe

Es seien ${}P$ und ${}Q$ konstruierbare Zahlen. Zeige, dass die Menge der konstruierbaren Strahlen, die von ${}P$ ausgehen, in einer natürlichen Bijektion zur Menge der konstruierbaren Strahlen steht, die von ${}Q$ ausgehen.

Aufgabe

Es sei ${}\beta$ ein Winkel, der durch zwei konstruierbare (Halb)-Geraden durch den Nullpunkt gegeben ist. Zeige, dass die Drehung um den Nullpunkt um den Winkel ${}\beta$ konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt.

Aufgabe *

Es sei ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine Drehung um den Drehpunkt ${}P$ um den Winkel ${}\beta$, ${}0^{\circ }<\beta <360^{\circ }$, mit der Eigenschaft, dass konstruierbare Punkte in konstruierbare Punkte überführt werden.

a) Zeige, dass ${}P$ ein konstruierbarer Punkt ist.

b) Zeige, dass der Drehwinkel ${}\beta$ in dem Sinne konstruierbar ist, dass er als Winkel zwischen zwei konstruierbaren Geraden realisiert werden kann.

Aufgabe

Zeige, dass ein Kreisteilungskörper ${}K_{}$ genau dann ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist, wenn sein Grad eine Zweierpotenz ist.

Aufgabe

Bestimme die Galoisgruppe für den Kreisteilungskörper ${}K_{15}$.

Aufgabe

Bestimme die Galoisgruppe für die konstruierbaren Kreisteilungskörper.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Wir betrachten die Körperkette der Kreisteilungskörper

${}\mathbb {Q} \subseteq K_{p}\subseteq K_{p^{2}}\subseteq K_{p^{3}}\subseteq \ldots \,.$

Es sei

${}L_{p}:=\bigcup _{r\in \mathbb {N} }K_{p^{r}}\,.$

1. Zeige, dass ${}L$ ein Körper ist.
2. Zeige, dass die Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ algebraisch, aber nicht endlich ist.
3. Für welche Primzahlen ${}p$ besteht ${}L_{p}$ nur aus konstruierbaren Zahlen?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise die Formel

${}\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha \,$

aus den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es nicht für jede konstruierbare Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ einen Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ mit ${}z\in K_{n}$ gibt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ eine natürliche Zahl, für die das regelmäßige ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar sei. Es sei eine Strecke ${}S$ durch zwei Punkte ${}P,Q\in E$ gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein regelmäßiges ${}n$-Eck ${}R$ derart, dass ${}S$ eine der Kanten von ${}R$ wird.

Tipp: Aufgabe 24.6 kann helfen.

Aufgabe (4 Punkte)

Welche der Winkel

$1^{\circ },\,2^{\circ },\,3^{\circ },\,4^{\circ },\ldots ,10^{\circ }$

sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?