Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei

$\varphi \colon F\longrightarrow M$

ein surjektiver ${}R$- Modulhomomorphismus mit einem freien Modul ${}F$, wobei eine Basis auf ein minimales Erzeugendensystem abgebildet werde. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf einen echten Untermodul ${}U\subseteq F$ nicht surjektiv ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine kommutative ${}K$- Algebra, die als ${}K$- Modul endlich sei. Zeige, dass ein Element ${}f\in A$ genau dann eine Einheit ist, wenn es ein Nichtnullteiler ist.

Aufgabe *

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter freier

${}R$- Modul vom Rang ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}M$. Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,$

stehen.

Aufgabe

Es seien ${}K$ und ${}L$ Körper, es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}A$, ${}K\subseteq A\subseteq L$, ein Zwischenring. Zeige, dass dann ${}A$ ebenfalls ein Körper ist.