Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 18

Annullatoren

Wenn ein Torsionselement $x$ gegeben ist, so ist für alle $r \in R$ auch $r x$ ein Torsionselement, wegen der Assoziativität der Skalarmultiplikation. Auch die Summe von Torsionselementen ist wieder ein Torsionselement, da das Produkt jener Ringelemente, die die jeweiligen Summanden annullieren, die Summe annulliert. Deshalb verwendet man folgende Bezeichnung.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. Die Menge aller Torsionselemente von $M$ bildet den Torsionsuntermodul von $M$ .

Definition

Ein Modul, der nur aus Torsionselementen besteht heißt Torsionsmodul.

Definition

Ein Modul, der außer $0$ keine Torsionselemente enthält, heißt torsionsfrei.

Über einem Integritätsbereich ist daher trivialerweise jeder torsionsfreie Modul treu. Die Umkehrung gilt jedoch nicht.

Produkt von Ideal und Untermodul

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $𝔞 \subseteq R$ ein Ideal. Zu einem Untermodul $U \subseteq V$ eines $R$ -Moduls $V$ bezeichnet man mit $𝔞 U$ den von allen Produkten

f v mit f \in 𝔞 und v \in U

erzeugten Untermodul.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$ -Modul und $I \subseteq R$ ein Ideal mit $I M = 0$ .

Dann ist $M$ in natürlicher Weise ein $R / I$ -Modul.

Beweis

Siehe Aufgabe 15.2.

◻

Freie Moduln

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$ -Modul. $M$ heißt frei (über $R$ ), wenn er eine $R$ -Basis besitzt.

Bemerkung

Es sei $R = ℤ$ und $n \in ℕ$ . Dann ist $M = ℤ / (n)$ ein $ℤ$ -Modul und wird von der $1 \in M$

erzeugt. Allerdings gilt $n \cdot 1 = 0$ , die Familie $(1)$ ist also bei $n \neq 0, 1$ nicht linear unabhängig und keine Basis. Da auch für jeden anderen Erzeuger $ξ \in M$ gilt, dass $n \cdot ξ = 0$ ist, ist $M$ als $ℤ$ -Modul nicht frei. Wenn man $M$ als kommutativen Ring auffasst, so ist $M$ als Modul über sich selbst frei. Bei $n = p$ mit einer Primzahl $p$ liegt ein $ℤ / (p)$ - Vektorraum vor.

Definition

Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring und $M$ ein freier $R$ -Modul. Man nennt dann die Kardinalität einer Basis von M den Rang von $M$ .

Lemma

Ein Ideal $𝔞 \subseteq R$ in einem kommutativen Ring $R$

ist genau dann frei, wenn es das Nullideal oder ein von einem Nichtnullteiler erzeugtes Hauptideal ist.

Beweis

Wenn $𝔞 \neq 0$ frei ist, so folgt aus Lemma 16.5 (2), dass es ein Hauptideal sein muss, und aus Lemma 16.5 (1), dass der Erzeuger ein Nichtnullteiler sein muss. Daraus folgt auch die Umkehrung.

◻

Lemma

Es sei $M_{i}$ , $i \in I$ , eine Familie von freien $R$ -Moduln über einem kommutativen Ring $R$ .

Dann ist auch die direkte Summe $⨁_{i \in I} M_{i}$ frei.

Beweis

Dies folgt aus Lemma 15.23 und aus Lemma 16.7.

◻

Beispiel

Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt $R^{n}$ ist ein endlicher, freier Modul mit Rang $n$ . Er besteht aus den $n$ -Tupeln von Elementen aus $R$ :

(r_{1}, \dots, r_{n}) .

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

(a_{1}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n})

und

s (a_{1}, \dots, a_{n}) = (s a_{1}, \dots, s a_{n}) .

Eine Basis

von

R^{n}

bilden die Elemente

e_{1}, \dots, e_{n},

wobei

e_{i} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0

) so definiert ist, dass an der

i

-ten Stelle des Tupels eine

1

steht und alle anderen Koordinaten

0

sind.

Den folgenden Satz nennt man die Wohldefiniertheit des Ranges eines freien Moduls.

Satz

Es sei $R \neq 0$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter freier $R$ -Modul.

Dann gilt für zwei $R$ -Basen $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{m}$ von $M$ , dass $n = m$ ist.

Beweis

Da $R$ ein kommutativer Ring $\neq 0$ ist, gibt es nach Lemma 10.3 ein maximales Ideal $𝔞$ in $R$ . Dementsprechend ist der Restklassenring $R / 𝔞$ nach Lemma 10.2 ein Körper. Der Untermodul $M / 𝔞 M$ wird dann zu einem $R / 𝔞$ -Vektorraum.

$M$ hat als $R$ -Modul die Basis $𝔳$ , also $M = ⨁_{v \in 𝔳} R v$ . Dementsprechend ist $𝔞 M = ⨁_{v \in 𝔳} 𝔞 v$ .

Hieraus folgt die Isomorphie

\begin{matrix} M / 𝔞 M & = (⨁_{v \in 𝔳} R v) / (⨁_{v \in 𝔳} 𝔞 v) \\ ≅ ⨁_{v \in 𝔳} (R v) / (𝔞 v) \\ ≅ ⨁_{v \in 𝔳} R / 𝔞 \end{matrix}

Somit hat $M / 𝔞 M$ als $R / 𝔞$ -Vektorraum eine Basis der Mächtigkeit von $𝔳$ .

Da wir für Vektorräume nach Satz 17.4 wissen, dass je zwei Basen die gleiche Kardinalität haben, folgt die Aussage.

◻

Definition

Es sei $R$ ein Ring und $M$ ein freier $R$ -Modul. Man sagt, dass $M$ den Rang $r$ besitzt, wenn alle Basen von $M$ die gleiche Kardinalität $r$ besitzen.

Basiswechsel

Wir wissen nach Satz 18.15, dass in einem endlich erzeugten freien $R$ -Modul je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor $v \in M$ besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten (oder Koeffizienten). Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter freier

$R$ -Modul vom Rang $n$ . Es seien $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{n}$ zwei Basen von $M$ . Es sei

v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i j} w_{i}

mit den Koeffizienten $c_{i j} \in R$ , die wir zur $n \times n$ -Matrix

M_{𝔴}^{𝔳} = {(c_{i j})}_{i j}

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor $u$ , der bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $(\begin{matrix} s_{1} \\ ⋮ \\ s_{n} \end{matrix})$ besitzt, bezüglich der Basis $𝔴$ die Koordinaten

$(\begin{matrix} t_{1} \\ ⋮ \\ t_{n} \end{matrix}) = M_{𝔴}^{𝔳} (\begin{matrix} s_{1} \\ ⋮ \\ s_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \dots & c_{n n} \end{matrix}) (\begin{matrix} s_{1} \\ ⋮ \\ s_{n} \end{matrix}) .$

Beweis

Dies folgt direkt aus

u = \sum_{j = 1}^{n} s_{j} v_{j} = \sum_{j = 1}^{n} s_{j} (\sum_{i = 1}^{n} c_{i j} w_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} s_{j} c_{i j}) w_{i}

und der Definition der Matrizenmultiplikation.

◻

Wenn wir die zu einer Basis $𝔳$ gehörende bijektive Abbildung (siehe Bemerkung 16.13)

Ψ_{𝔳} : R^{n} ⟶ M

betrachten, so kann man die vorstehende Aussage auch so ausdrücken, dass das Dreieck

\begin{matrix} R^{n} & \overset{M_{𝔴}^{𝔳}}{⟶} & R^{n} \\ Ψ_{𝔳} ↘ & ↓ Ψ_{𝔴} \\ M \end{matrix}

kommutiert.^[1]

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter freier

$R$ -Modul vom Rang $n$ . Es seien $𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{n}$ zwei Basen von $V$ . Es sei

v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} c_{i j} w_{i}

mit den Koeffizienten $c_{i j} \in R$ . Dann nennt man die $n \times n$ -Matrix

M_{𝔴}^{𝔳} = (c_{i j})_{i j}

die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von $𝔳$ nach $𝔴$ .

Statt Übergangsmatrix sagt man auch Transformationsmatrix oder Basiswechselmatrix.

Bemerkung

Es sei $V$ ein endlich erzeugter freier Modul. In der $j$ -ten Spalte der Transformationsmatrix $M_{𝔴}^{𝔳}$ stehen die Koordinaten von $v_{j}$ bezüglich der Basis $𝔴$ . Der Vektor $v_{j}$ hat bezüglich der Basis $𝔳$ die Koordinaten $e_{j}$ , und wenn man die Matrix auf $e_{j}$ anwendet, erhält man die $j$ -te Spalte der Matrix, und diese ist eben das Koordinatentupel von $v_{j}$ in der Basis $𝔴$ . Bei einem eindimensionalen Raum mit

v = c w

ist $M_{𝔴}^{𝔳} = c = \frac{v}{w}$ , wobei der Bruch in der Tat wohldefiniert ist und wodurch man sich die Reihenfolge der Basen in dieser Schreibweise merken kann. Eine weitere Beziehung ist

𝔳 = {(M_{𝔴}^{𝔳})}^{tr} 𝔴,

wobei hier die Matrix aber nicht auf ein $n$ -Tupel aus $R$ , sondern auf ein $n$ -Tupel aus $V$ angewendet wird und sich ein neues $n$ -Tupel aus $V$ ergibt. Dies könnte man als Argument dafür ansehen, die Übergangsmatrix direkt als ihre Transponierte anzusetzen, doch betrachtet man das in Lemma 18.17 beschriebene Transformationsverhalten als ausschlaggebend.

Wenn

V = R^{n}

und $𝔢$ die Standardbasis davon ist und $𝔳$ eine weitere Basis, so erhält man die Übergangsmatrix $M_{𝔳}^{𝔢}$ von $𝔢$ nach $𝔳$ , indem man $e_{j}$ als Linearkombination der Basisvektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ ausdrückt und die entsprechenden Tupel als Spalten nimmt. Dagegen besteht $M_{𝔢}^{𝔳}$ einfach aus den $v_{1}, \dots, v_{n}$ als Spalten geschrieben.

Beispiel

Wir betrachten im $ℝ^{2}$ die Standardbasis

𝔲 = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

und die Basis

𝔳 = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}) .

Die Basisvektoren von $𝔳$ lassen sich direkt mit der Standardbasis ausdrücken, nämlich

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = 1 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) und v_{2} = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}) = - 2 (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) .

Daher erhält man sofort

M_{𝔲}^{𝔳} = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) .

Zum Beispiel hat der Vektor, der bezüglich $𝔳$ die Koordinaten $(4, - 3)$ besitzt, bezüglich der Standardbasis $𝔲$ die Koordinaten

M_{𝔲}^{𝔳} (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ - 1 \end{matrix}) .

Die Übergangsmatrix $M_{𝔳}^{𝔲}$ ist schwieriger zu bestimmen: Dazu müssen wir die Standardvektoren als Linearkombinationen von $v_{1}$ und $v_{2}$ ausdrücken. Eine direkte Rechnung (dahinter steckt das simultane Lösen von zwei linearen Gleichungssystemen) ergibt

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{3}{7} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) - \frac{2}{7} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{2}{7} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) + \frac{1}{7} (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \end{matrix}) .

Somit ist

M_{𝔳}^{𝔲} = (\begin{matrix} \frac{3}{7} & \frac{2}{7} \\ - \frac{2}{7} & \frac{1}{7} \end{matrix}) .

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter freier

$R$ -Modul vom Rang $n$ . Es seien $𝔲 = u_{1}, \dots, u_{n}, 𝔳 = v_{1}, \dots, v_{n}$ und $𝔴 = w_{1}, \dots, w_{n}$ Basen von $M$ .

Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

$M_{𝔴}^{𝔲} = M_{𝔴}^{𝔳} \circ M_{𝔳}^{𝔲} .$

Insbesondere ist

M_{𝔳}^{𝔲} \circ M_{𝔲}^{𝔳} = E_{n} .

Beweis

Siehe Aufgabe 18.3.

◻

Freie Algebren

Eine $R$ -Algebra heißt frei, wenn sie als $R$ -Modul frei ist.

Lemma

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und es sei $P = \sum_{i = 0}^{n} r_{i} X^{i} \in R [X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$ und $A = R [X] / (P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $A$ mit $x$ ).

In $A$ ist $x^{n} = - \sum_{i = 0}^{n - 1} r_{i} x^{i}$ .

Höhere Potenzen $x^{k}$ , $k \geq n$ , kann man mit den Potenzen $x^{i}$ , $i \leq n - 1$ , ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.

Die Potenzen $x^{0} = 1, x^{1}$ $, \dots, x^{n - 1}$ bilden eine $R$ -Basis von $A$ .

$A$ ist eine freier $R$ -Modul vom Rang $n$ .

In $A$ werden zwei Elemente $P = \sum_{i = 0}^{n - 1} b_{i} x^{i}$ und $Q = \sum_{i = 0}^{n - 1} c_{i} x^{i}$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

Beweis

Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung $P = 0$ .
Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (1) mit Potenzen von $x$ .
Dass die Potenzen $x^{i}$ , $i = 0, \dots, n - 1$ , ein Erzeugendensystem bilden, folgt aus Teil (1) und (2). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir $\sum_{i = 0}^{n - 1} c_{i} x^{i} = 0$ . D.h., dass das Polynom $Q = \sum_{i = 0}^{n - 1} c_{i} X^{i}$ unter der Restklassenabbildung auf $0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von $P$ sein, was aber aus Gradgründen und wegen der Normiertheit von $P$ erzwingt, dass $Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle $c_{i} = 0$ .
Dies folgt direkt aus (3).
Dies ist klar.

◻

Bemerkung

Die Ergebnisse von Lemma 18.22 gelten auch dann, wenn der Leitkoeffizient von $P$ eine Einheit in $R$ ist, da man dann das Polynom durch diesen dividieren kann, ohne das Ideal und den Restklassenring zu ändern. Dies findet insbesondere Anwendung, wenn $R$ ein Körper ist. Wenn der Leitkoeffizient keine Einheit ist, so ist die Restklassenalgebra nicht frei; einfache Beispiele sind $ℤ [X] / (2 X)$ oder $K [X, Y] / (X Y)$ .

Satz

Es seien $R \subseteq S$ und $S \subseteq T$ endliche freie Algebren.

Dann ist auch $R \subseteq T$ eine freie endliche Ringerweiterung und es gilt

${Rang}_{R} T = {Rang}_{R} S \cdot {Rang}_{S} T .$

Beweis

Wir setzen ${Rang}_{R} S = n$ und ${Rang}_{S} T = m$ . Es sei $x_{1}, \dots, x_{n} \in S$ eine $R$ -Basis von $S$ und $y_{1}, \dots, y_{m} \in T$ eine $S$ -Basis von $T$ . Wir behaupten, dass die Produkte

x_{i} y_{j}, 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m,

eine $R$ -Basis von $T$ bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum $T$ über $R$ erzeugen. Es sei dazu $z \in T$ . Wir schreiben

z = b_{1} y_{1} + \dots + b_{m} y_{m} mit Koeffizienten b_{j} \in S .

Wir können jedes $b_{j}$ als $b_{j} = a_{1 j} x_{1} + \dots + a_{n j} x_{n}$ mit Koeffizienten $a_{i j} \in R$ ausdrücken. Das ergibt

\begin{matrix} z & = b_{1} y_{1} + \dots + b_{m} y_{m} \\ = (a_{11} x_{1} + \dots + a_{n 1} x_{n}) y_{1} + \dots + (a_{1 m} x_{1} + \dots + a_{n m} x_{n}) y_{m} \\ = \sum_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} a_{i j} x_{i} y_{j} . \end{matrix}

Daher ist $z$ eine $R$ -Linearkombination der Produkte $x_{i} y_{j}$ .
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

0 = \sum_{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m} c_{i j} x_{i} y_{j}

mit $c_{i j} \in R$ angenommen. Wir schreiben dies als $0 = \sum_{j = 1}^{m} (\sum_{i = 1}^{n} c_{i j} x_{i}) y_{j}$ . Da die $y_{j}$ linear unabhängig über $S$ sind und die Koeffizienten der $y_{j}$ zu $S$ gehören, folgt, dass $\sum_{i = 1}^{n} c_{i j} x_{i} = 0$ ist für jedes $j$ . Da die $x_{i}$ linear unabhängig über $R$ sind und $c_{i j} \in R$ ist, folgt, dass $c_{i j} = 0$ für alle $i, j$ ist.

◻

Korollar

Es seien $K \subseteq L$ und $L \subseteq M$ endliche Körpererweiterungen.

Dann ist auch $K \subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung und es gilt

${grad}_{K} M = {grad}_{K} L \cdot {grad}_{L} M .$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 18.24.

◻

Fußnoten

↑ Die Kommutativität eines solchen Pfeil- bzw. Abbildungsdiagramms besagt einfach, dass die zusammengesetzten Abbildungen übereinstimmen, wenn ihre Definitionsmengen und ihre Wertemengen übereinstimmen. In diesem Fall heißt es einfach nur $Ψ_{𝔳} = Ψ_{𝔴} \circ M_{𝔴}^{𝔳}$ .

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[1] Die Kommutativität eines solchen Pfeil- bzw. Abbildungsdiagramms besagt einfach, dass die zusammengesetzten Abbildungen übereinstimmen, wenn ihre Definitionsmengen und ihre Wertemengen übereinstimmen. In diesem Fall heißt es einfach nur $Ψ_{𝔳} = Ψ_{𝔴} \circ M_{𝔴}^{𝔳}$ .

[1]