Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(R)=(R^{n})^{n}\longrightarrow R,\,M\longmapsto \det M,$

für beliebiges  ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$  und beliebige ${}n-1$ Vektoren  ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in R^{n}$,  für  ${}u\in R^{n}$  und für  ${}s\in R$  die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W_{1},\ldots ,W_{n}$ und ${}Z$ Moduln über ${}R$. Es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}$

${}R$- Modulhomomorphismen und sei

$\pi \colon W_{1}\times \cdots \times W_{n}\longrightarrow Z$

eine multilineare Abbildung. Zeige, dass die Abbildung

$\pi \circ (\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n})\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow Z,\,(v_{1},\ldots ,v_{n})\longmapsto \pi (\varphi _{1}(v_{1}),\ldots ,\varphi _{n}(v_{n})),$

ebenfalls multilinear ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, seien ${}V$ und ${}W$ Moduln über ${}R$ und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Zeige, dass die Menge aller alternierenden Abbildungen, die mit ${}\operatorname {Alt} _{R}^{n}{\left(V,W\right)}$ bezeichnet wird, ein Untermodul von ${}\operatorname {Mult} _{R}{\left(V,\ldots ,V;W\right)}$ (wobei der Modul ${}V$ ${}n$-fach auftritt) ist.