Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 21

Determinante

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$  eine ${}m\times n$- Matrix über ${}R$. Zu  ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$  sei ${}M_{i}$ diejenige ${}(n-1)\times (n-1)$-Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die erste Spalte und die ${}i$-te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von ${}M$ durch

${}\det M={\begin{cases}a_{11}\,,&{\text{falls }}n=1\,,\\\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}&{\text{ für }}n\geq 2\,.\end{cases}}\,$

Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert. Die in der Definition auftretenden Matrizen nennt auch Streichungsmatrizen. Für kleine ${}n$ kann man die Determinante einfach ausrechnen.

Beispiel

Für eine ${}2\times 2$-Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,$

ist

$\det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-cb.$

Als Merkregel für eine ${}3\times 3$-Matrix verwendet man die Regel von Sarrus. Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte. Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ.

Beispiel

Für eine ${}3\times 3$- Matrix  ${}M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$  ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.\,\end{aligned}}$

Dies nennt man die Regel von Sarrus.

Lemma

Für eine obere Dreiecksmatrix

${}M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,$

über einem kommutativen Ring

ist

${}\det M=b_{1}b_{2}{\cdots }b_{n-1}b_{n}\,.$

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix  ${}\det E_{n}=1$. 

Beweis

Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante.

$\Box$

Multilineare Abbildungen

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ ${}R$- Moduln. Eine Abbildung

$\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

heißt ${}R$-multilinear, wenn für jedes  ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$  und jedes ${}(n-1)$-Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ (mit ${}v_{j}\in V_{j}$) die induzierte Abbildung

$V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},$

${}R$- linear ist.

Bei  ${}n=2$  spricht man von bilinear.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Moduln über ${}R$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien  ${}v_{i1},\ldots ,v_{im_{i}}\in V_{i}$  und  ${}a_{ij_{i}}\in R$  zu  ${}i=1,\ldots ,n$  und  ${}j_{i}=1,\ldots ,m_{i}$. 

Dann ist

$\Phi {\left(\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}v_{1j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},\ldots ,v_{nj_{n}}\right)}\,.$

Beweis

Es ist ${}\Phi$ linear in jeder Komponente, wenn man die anderen Komponenten festhält. Eine lineare Abbildung ist mit beliebigen Linearkombinationen verträglich. Wir ziehen die Summen sukzessive nach vorne und verarbeiten die einzelnen geordneten Summe in eine einzige ungeordnete Summe.

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\Phi {\left(\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}v_{1j},\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}v_{2j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}\Phi {\left(v_{1j},\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}v_{2j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}{\left(\sum _{j=1}^{m_{2}}a_{2j}\Phi {\left(v_{1j},v_{2j},\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}{\left(\sum _{j=1}^{m_{3}}a_{3j}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},v_{3j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\right)}\\&=\sum _{(j_{1},j_{2},j_{3})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \{1,\ldots ,m_{2}\}\times \{1,\ldots ,m_{3}\}}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}a_{3j_{3}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},v_{2j_{2}},v_{3j_{3}},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}\\&=\ldots \\&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},\ldots ,v_{nj_{n}}\right)}.\,\end{aligned}}$

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}V$ und ${}W$ seien ${}R$- Moduln und sei  ${}n\in \mathbb {N}$.  Eine multilineare Abbildung

$\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in  ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$  zwei Einträge übereinstimmen, also  ${}v_{i}=v_{j}$  für ein Paar  ${}i\neq j$,  so ist

${}\Phi (v)=0\,.$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, seien ${}V$ und ${}W$ Moduln über ${}R$ und sei  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es sei

$\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

eine alternierende Abbildung.

Dann gilt

$\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\,.$

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

Beweis

Aufgrund der Definition von alternierend und Lemma 21.6 gilt

${}{\begin{aligned}0&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r}+v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r}+v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\\\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n}).\,\end{aligned}}$

$\Box$

Lemma

Es seien ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ ${}R$- Moduln, ${}\Phi \colon M^{n}\rightarrow N$ eine multilineare, alternierende Abbildung, ${}\alpha \in R$ und ${}r,s\in \{1,...,n\}$.

Dann hat ${}\Phi$ folgende Eigenschaften:

${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{n})\,.$

${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r}+\alpha v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})\,,$

Falls ${}v_{r}$ sich als Linearkombination von ${}(v_{i})_{i\in \{1,...,n\}\setminus \{r\}}$ schreiben lässt, so ist

${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{n})=0\,$

Beweis

Zu Teil 1: Aufgrund der Definition von alternierend gilt:

${}{\begin{aligned}0&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r}+v_{s},\ldots ,v_{r}+v_{s},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$

Zu Teil 2: Da ${}\triangle$ multilinear ist, ist es linear in der r-ten Komponente:

${}{\begin{aligned}\Phi (v_{r}\mapsto v_{r}+(\alpha \cdot v_{s}))&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,\alpha \cdot v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\alpha \cdot \underbrace {\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})} _{=0}\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$

Zu Teil 3: Sei  ${}v_{j}=\sum _{i=1,i\neq j}^{n}\lambda _{i}\cdot v_{i}$  dann ist

${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{j-1},v_{j},v_{j+1},\ldots ,,v_{n})=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{n}\lambda _{i}\cdot \Phi (v_{1},\ldots ,v_{j-1},v_{i},v_{j+1},\ldots ,,v_{n})=0\,.$

$\Box$

Die Determinante ist eine alternierende Abbildung

Wir wollen zeigen, dass die rekursiv definierte Determinante eine multilineare und alternierende Abbildung ist, wenn man die Identifizierung

${}\operatorname {Mat} _{n}(R)\cong (R^{n})^{n}\,$

vornimmt, bei der einer Matrix das ${}n$-Tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird. Wir fassen also im Folgenden eine Matrix als ein Spaltentupel

${\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$

auf, wobei die einzelnen Einträge ${}v_{i}$ Zeilenvektoren der Länge ${}n$ sind.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. 

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(R)=(R^{n})^{n}\longrightarrow R,\,M\longmapsto \det M,$

multilinear.

Beweis

Es seien

$M:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,,M':={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\tilde {M}}:={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$

wobei wir die Einträge und die Streichungsmatrizen analog bezeichnen. Insbesondere ist also  ${}u=\left(a_{k1},\,\ldots ,\,a_{kn}\right)$  und  ${}w=\left(a_{k1}',\,\ldots ,\,a_{kn}'\right)$.  Wir beweisen die Aussage des Satzes durch Induktion nach ${}n$, wobei der Fall  ${}n=1$  klar ist. Für  ${}i\neq k$  ist  ${}{\tilde {a}}_{i1}=a_{i1}=a'_{i1}$  und

${}\det {\tilde {M}}_{i}=\det M_{i}+\det M'_{i}\,$

nach Induktionsvoraussetzung. Für  ${}i=k$  ist  ${}M_{k}=M_{k}'={\tilde {M}}_{k}$  und es ist  ${}{\tilde {a}}_{k1}=a_{k1}+a'_{k1}$.  Insgesamt ergibt sich

${}{\begin{aligned}\det {\tilde {M}}&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{\tilde {a}}_{i1}\det {\tilde {M}}_{i}\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}(\det {M}_{i}+\det {M}'_{i})+(-1)^{k+1}(a_{k1}+a'_{k1})(\det {\tilde {M}}_{k})\\&=\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a_{k1}\det M_{k}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1,\,i\neq k,\,}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}'_{i}+(-1)^{k+1}a'_{k1}\det M_{k}\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det {M}_{i}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a'_{i1}\det {M}'_{i}\\&=\det M+\det M'.\end{aligned}}$ 

Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beweist man ähnlich, siehe Aufgabe 21.1.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. 

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(R)=(R^{n})^{n}\longrightarrow R,\,M\longmapsto \det M,$

alternierend.

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}n$, wobei es für  ${}n=1$  nichts zu zeigen gibt. Es sei also  ${}n\geq 2$  und  ${}M={\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$.  Die relevanten Zeilen seien ${}v_{r}$ und ${}v_{s}$ mit  ${}r<s$.  Nach Definition ist  ${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}\det M_{i}$.  Nach Induktionsvoraussetzung sind dabei  ${}\det M_{i}=0$  für  ${}i\neq r,s$,  da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen. Damit ist

${}\det M=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\,,$

wobei  ${}a_{r1}=a_{s1}$  ist. Die beiden Matrizen ${}M_{r}$ und ${}M_{s}$ haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile  ${}z=v_{r}=v_{s}$  in ${}M_{r}$ als die ${}(s-1)$-te Zeile und in ${}M_{s}$ als die ${}r$-te Zeile auf. Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor. Durch insgesamt ${}s-r-1$ Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man ${}M_{r}$ in ${}M_{s}$ überführen. Nach der Induktionsvoraussetzung und Lemma 21.8 unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor ${}(-1)^{s-r-1}$, also ist  ${}\det M_{s}=(-1)^{s-r-1}\det M_{r}$.  Setzt man dies oben ein, so erhält man

${}{\begin{aligned}\det M&=(-1)^{r+1}a_{r1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}a_{s1}\det M_{s}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}\det M_{r}+(-1)^{s+1}(-1)^{s-r-1}\det M_{r}\right)}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{2s-r}\right)}\det M_{r}\\&=a_{r1}{\left((-1)^{r+1}+(-1)^{r}\right)}\det M_{r}\\&=0.\end{aligned}}$

$\Box$

Durch die Eigenschaft, alternierend zu sein, vereinfacht sich das Berechnen der Determinante. Insbesondere kann man gut überblicken, wie sich die Determinante bei elementaren Zeilenumformungen verhält. Wenn man eine Zeile mit einer Zahl ${}s$ multipliziert, so muss man die Determinante auch mit ${}s$ multiplizieren. Wenn man Zeilen vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Wenn man eine Zeile (oder ein Vielfaches davon) zu einer anderen Zeile hinzuaddiert, so ändert sich die Determinante nicht.

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