Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 21

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und ${}M$ ein ${}R$- Modul, der von ${}n$ Elementen erzeugt werde. Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus mit

${}\varphi (M)\subseteq {\mathfrak {a}}M\,.$

Dann gibt es ein normiertes Polynom

${}P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}\,$

vom Grad ${}n$ und mit ${}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$ und mit ${}P(\varphi )=0$.

Beweis

Es seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ erzeugende Elemente von ${}M$. Dann ist insbesondere ${}\varphi (y_{i})$ für jedes ${}i$ eine ${}R$-Linearkombination der $y_{j},\,j=1,\ldots ,n$, wobei die Koeffizienten sogar aus dem Ideal sind. Dies bedeutet

${}\varphi (y_{i})=\sum _{j=1}^{n}r_{ij}y_{j}\,$

mit ${}r_{ij}\in {\mathfrak {a}}$. Wir fassen den ${}R$-Modul ${}M$ zusammen mit dem Endomorpphismus ${}\varphi$ als ein ${}R[X]$-Modul auf, wobei die Variable ${}X$ wie der Endomorphismusoperiere, d.h. es ist für ein beliebiges Polynom ${}F\in R[X]$ und ${}y\in M$

${}Fy=F(\varphi )(y)\,.$

Somit können wir die obigen Einzelgleichungen als eine Matrixgleichung schreiben, nämlich

${}X{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r_{1,1}&r_{1,2}&.&.&r_{1,n}\\r_{2,1}&r_{2,2}&.&.&r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\r_{n,1}&r_{n,2}&.&.&r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dies schreiben wir als

${}0={\begin{pmatrix}X-r_{1,1}&-r_{1,2}&.&.&-r_{1,n}\\-r_{2,1}&X-r_{2,2}&.&.&-r_{2,n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\-r_{n,1}&-r_{n,2}&.&.&X-r_{n,n}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\.\\.\\y_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Nennen wir diese Matrix ${}A$ (die Einträge sind aus ${}R[X]$), und sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die adjungierte Matrix. Dann gilt ${}A^{\operatorname {adj} }Ay=0$ (${}y$ bezeichne den Vektor $(y_{1},\ldots ,y_{n})$) und nach der Cramerschen Regel ist ${}A^{\operatorname {adj} }A=(\det A)E_{n}$, also gilt ${}((\det A)E_{n})y=0$. Es ist also ${}(\det A)y_{j}=0$ für alle ${}j$ und damit

${}(\det A)z=0\,$

für alle ${}z\in M$. Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in ${}X$ vom Grad ${}n$, und die Gleichheit bedeutet

${}(\det A(\varphi ))z=0\,$

für alle ${}z\in M$, also ist

${}(\det A(\varphi ))=0\,$

als Abbildungen. Die Zugehörigkeiten zu den Idealpotenzen ergeben sich aus der expliziten Beschreibung der Determinante.

$\Box$

Das Lemma von Nakayama

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ein Ideal und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei ${}{\mathfrak {a}}V=V$ vorausgesetzt.

Dann gibt es ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$ derart, dass ${}(1-f)V=0$.

Beweis

Wir wenden Fakt ***** auf die Identität auf ${}M$ an. Mit dem dort gewonnenen Polynom ${}P=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}$ (mit ${}a_{j}\in {\mathfrak {a}}^{j}$) ist dann

${}0=P(\operatorname {Id} )M={\left(\operatorname {Id} +{\left(a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}\operatorname {Id} \right)}M={\left(1+a_{1}+\cdots +a_{n}\right)}M\,,$

wobei die Summe ohne die ${}1$ zum Ideal gehört.

$\Box$

Als Spezialfall ergibt sich im lokalen Fall das Lemma von Nakayama. Wir geben noch einen zusätzlichen Beweis.

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei ${}{\mathfrak {m}}V=V$ vorausgesetzt.

Dann ist ${}V=0$.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$. Nach Voraussetzung gibt es wegen ${}v_{i}\in {\mathfrak {m}}V$ zu jedem ${}v_{i}$ eine Darstellung

${}v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{in}v_{n}\,$

mit ${}a_{ij}\in {\mathfrak {m}}$. Daraus ergibt sich für jedes ${}i$ eine Darstellung

${}(1-a_{ii})v_{i}=a_{i1}v_{1}+\cdots +a_{i,i-1}v_{i-1}+a_{i,i+1}v_{i+1}+a_{in}v_{n}\,.$

Da ${}a_{ii}\in {\mathfrak {m}}$ ist, ist der Koeffizient ${}1-a_{ii}$ eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach ${}v_{i}$ auflösen kann, so dass also ${}v_{i}$ überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul und ${}U\subseteq V$ ein Untermodul. Es gelte ${}U+{\mathfrak {m}}V=V$.

Dann ist ${}U=V$.

Beweis

Im Restklassenmodul ${}V/U$ gilt ${}V/U={\mathfrak {m}}{\left(V/U\right)}$. Aus Satz 21.3 folgt ${}V/U=0$, also ${}U=V$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring und sei ${}W$ ein ${}R$- Modul und ${}U,V\subseteq W$ endlich erzeugte Untermoduln. Es gelte ${}U\subseteq V+{\mathfrak {m}}U$.

Dann ist ${}U\subseteq V$.

Beweis

Wir betrachten den Untermodul

${}U'=U+V\,.$

Dabei gilt

${}U'=U+V=V+{\mathfrak {m}}U=V+{\mathfrak {m}}U'\,.$

Aus Fakt ***** ergibt sich ${}U+V=V$, also ${}U\subseteq V$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}})$ ein lokaler Ring, seien ${}U,V$ endlich erzeugte ${}R$- Moduln und sei ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ ein Modulhomomorphismus. Wenn der induzierte ${}R/{\mathfrak {m}}$-Homomorphismus

$U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V$

surjektiv ist,

so ist bereits ${}\varphi$ surjektiv.

Beweis

Es sei ${}W\subseteq V$ der Bildmodul, der Homomorphismus faktorisiert

$U\longrightarrow W\longrightarrow V.$

Dazu gehören die ${}R/{\mathfrak {m}}$- Modulhomomorphismen

$U/{\mathfrak {m}}U\longrightarrow W/{\mathfrak {m}}W\longrightarrow V/{\mathfrak {m}}V.$

Nach Voraussetzung ist die Gesamtabbildung surjektiv, also ist auch die hintere Abbildung surjektiv. Dies bedeutet

${}V={\mathfrak {m}}V+W\,,$

woraus mit Fakt ***** ${}W=V$ folgt. Dies bedeutet die Surjektivität der Ausgangsabbildung.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}(R,{\mathfrak {m}},K)$ ein lokaler Ring und sei ${}V$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul.

Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl ${}\mu (V)$ mit der Dimension des ${}K$- Vektorraums ${}V/{\mathfrak {m}}V$ überein.

Beweis

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ genau dann ein ${}R$-Erzeugendensystem für ${}V$ bilden, wenn deren Restklassen in ${}V/{\mathfrak {m}}V$ ein ${}R/{\mathfrak {m}}$-Erzeugendensystem von ${}V/{\mathfrak {m}}V$ bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ gegeben, die modulo ${}{\mathfrak {m}}$ ein Erzeugendensystem sind. Es sei ${}U\subseteq V$ der von den ${}v_{i}$ erzeugte ${}R$-Untermodul von ${}V$. Die Voraussetzung übersetzt sich zu ${}V=U+{\mathfrak {m}}V$. Wir betrachten den Restklassenmodul ${}V/U$. Dort gilt dann ${}(V/U){\mathfrak {m}}=V/U$, woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit ${}V/U=0$ und ${}V=U$ folgt.

$\Box$

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