Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 21

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Satz  

Sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein -Modul, der von Elementen erzeugt werde. Es sei ein -Modulhomomorphismus mit

Dann gibt es ein normiertes Polynom

vom Grad und mit und mit .

Beweis  

Seien erzeugende Elemente von . Dann ist insbesondere für jedes eine -Linearkombination der , wobei die Koeffizienten sogar aus dem Ideal sind. Dies bedeutet

mit . Wir fassen den -Modul zusammen mit dem Endomorpphismus als ein -Modul auf, wobei die Variable wie der Endomorphismusoperiere, d.h. es ist für ein beliebiges Polynom und

Somit können wir die obigen Einzelgleichungen als eine Matrixgleichung schreiben, nämlich

Dies schreiben wir als

Nennen wir diese Matrix (die Einträge sind aus ), und sei die adjungierte Matrix. Dann gilt ( bezeichne den Vektor ) und nach der Cramerschen Regel ist , also gilt . Es ist also für alle und damit

für alle . Die Determinante ist aber ein normierter polynomialer Ausdruck in vom Grad , und die Gleichheit bedeutet

für alle , also ist

als Abbildungen. Die Zugehörigkeiten zu den Idealpotenzen ergeben sich aus der expliziten Beschreibung der Determinante.




Das Lemma von Nakayama



Satz  

Sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und sei ein endlich erzeugter -Modul. Es sei vorausgesetzt.

Dann gibt es ein derart, dass .

Beweis  

Wir wenden Fakt ***** auf die Identität auf an. Mit dem dort gewonnenen Polynom (mit ) ist dann

wobei die Summe ohne die zum Ideal gehört.


Als Spezialfall ergibt sich im lokalen Fall das Lemma von Nakayama. Wir geben noch einen zusätzlichen Beweis.



Lemma  

Sei ein lokaler Ring und sei ein endlich erzeugter -Modul. Es sei vorausgesetzt.

Dann ist .

Beweis  

Sei ein Erzeugendensystem von . Nach Voraussetzung gibt es wegen zu jedem eine Darstellung

mit . Daraus ergibt sich für jedes eine Darstellung

Da ist, ist der Koeffizient eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach auflösen kann, so dass also überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.




Korollar  

Sei ein lokaler Ring und sei ein endlich erzeugter -Modul und ein Untermodul. Es gelte .

Dann ist .

Beweis  

Im Restklassenmodul gilt . Aus Satz 21.3 folgt , also .




Korollar  

Sei ein lokaler Ring und sei ein -Modul und endlich erzeugte Untermoduln. Es gelte .

Dann ist .

Beweis  

Wir betrachten den Untermodul

Dabei gilt

Aus Fakt ***** ergibt sich , also .




Korollar  

Sei ein lokaler Ring, seien endlich erzeugte -Moduln und sei ein Modulhomomorphismus. Wenn der induzierte -Homomorphismus

surjektiv ist,

so ist bereits surjektiv.

Beweis  

Es sei der Bildmodul, der Homomorphismus faktorisiert

Dazu gehören die -Modulhomomorphismen

Nach Voraussetzung ist die Gesamtabbildung surjektiv, also ist auch die hintere Abbildung surjektiv. Dies bedeutet

woraus mit Fakt ***** folgt. Dies bedeutet die Surjektivität der Ausgangsabbildung.




Lemma  

Sei ein lokaler Ring und sei ein endlich erzeugter -Modul.

Dann stimmt die minimale Erzeugendenzahl mit der Dimension des -Vektorraums überein.

Beweis  

Wir zeigen etwas allgemeiner, dass Elemente genau dann ein -Erzeugendensystem für bilden, wenn deren Restklassen in ein -Erzeugendensystem von bilden. Dabei ist die eine Richtung trivial, seien also Elemente gegeben, die modulo ein Erzeugendensystem sind. Es sei der von den erzeugte -Untermodul von . Die Voraussetzung übersetzt sich zu . Wir betrachten den Restklassenmodul . Dort gilt dann , woraus nach dem Lemma von Nakayama die Gleichheit und folgt.


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