Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die auf ${}M\times S$ definierte Überkreuzrelation ist eine Äquivalenzrelation.
2. Auf der Menge ${}M_{S}$ der Äquivalenzklassen

   ${}{\frac {m}{s}}:=[(m,s)]\,$

   ist durch

   ${}{\frac {m}{s}}+{\frac {\tilde {m}}{\tilde {s}}}:={\frac {{\tilde {s}}m+s{\tilde {m}}}{s{\tilde {s}}}}\,$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben.

3. Durch

   ${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {m}{\tilde {s}}}:={\frac {rm}{s{\tilde {s}}}}\,$

   ist eine wohldefinierte Abbildung

   $R_{S}\times M_{S}\longrightarrow M_{S}$

   gegeben.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige, dass die Nenneraufnahme ${}M_{S}$ mit den in Lemma 26.2 beschriebenen Operationen ein ${}R_{S}$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$- Modul. Es sei  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  ein Primideal mit  ${}M_{\mathfrak {p}}=0$.  Zeige, dass es ein  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$  gibt mit  ${}M_{f}=0$. 

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$- Modul und  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Der ${}R_{S}$-Modul ${}M_{S}$ werde durch ${}n$ Elemente erzeugt. Zeige, dass es dann ein  ${}g\in S$  derart gibt, dass auch der ${}S_{g}$-Modul ${}M_{g}$ durch ${}n$ Elemente erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Es sei ${}M$ ein ${}R$- Modul, es sei ${}N$ ein ${}R_{S}$-Modul und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus. Zeige, dass dies einen ${}R_{S}$-Modulhomomorphismus

$M_{S}\longrightarrow N,\,{\frac {m}{s}}\longmapsto s^{-1}\varphi (m),$

induziert.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, sei  ${}f\in R$  und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal. Zeige, dass  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ gilt, dass  ${}f\in {\mathfrak {a}}R_{\mathfrak {p}}$  ist.

Aufgabe *

Es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale in einem Dedekindbereich ${}R$. Es gelte

${}{\mathfrak {f}}\cdot {\mathfrak {g}}=R\,.$

Zeige, dass dann

${}{\mathfrak {f}}={\mathfrak {g}}^{-1}\,$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten ${}R$- Moduln. Es sei  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus ${}\varphi \colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ surjektiv ist. Zeige, dass es ein  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$  derart gibt, dass ${}\varphi \colon M_{f}\rightarrow N_{f}$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$- Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten ${}R$- Moduln. Es sei  ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$  ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus ${}\varphi \colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ injektiv ist. Zeige, dass es ein  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$  derart gibt, dass ${}\varphi \colon M_{f}\rightarrow N_{f}$ injektiv ist.

Aufgabe

Zeige anhand von  ${}R=\mathbb {Z}$  und  ${}M=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$,  dass die Aussagen aus Aufgabe 26.3, Aufgabe 26.8 und Aufgabe 26.9 ohne die Voraussetzung der endlichen Erzeugtheit nicht stimmen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper,

${}R=K[X_{n},Y_{n},n\in \mathbb {N} ]/(X_{n}Y_{n},\,n\in \mathbb {N} )\,$

und  ${}{\mathfrak {p}}={\left(X_{n},\,n\in \mathbb {N} \right)}\subseteq R$. 

1. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal ist.
2. Zeige  ${}{\mathfrak {p}}_{\mathfrak {p}}=0$. 
3. Zeige  ${}{\mathfrak {p}}_{f}\neq 0$  für  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$. 
4. Zeige, dass

   $\varphi \colon R\longrightarrow R/{\mathfrak {p}}$

   lokalisiert in ${}{\mathfrak {p}}$ injektiv (also auch bijektiv) ist, aber keine Nenneraufnahme an einem einzigen Element  ${}f\notin {\mathfrak {p}}$  injektiv ist.