Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System und $M$ ein $R$-Modul. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die auf $M\times S$ definierte Überkreuzrelation ist eine Äquivalenzrelation.
2. Auf der Menge $M_S$ der Äquivalenzklassen

   $\frac{m}{s}:=[(m,s)]$

   ist durch

   $\frac{m}{s}+\frac{\tilde{m}}{\tilde{s}}:=\frac{\tilde{s}m+s\tilde{m}}{s\tilde{s}}$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben.

3. Durch

   $\frac{r}{s}\cdot \frac{m}{\tilde{s}}:=\frac{rm}{s\tilde{s}}$

   ist eine wohldefinierte Abbildung

   $R_S\times M_S⟶M_S$

   gegeben.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring,  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System und $M$ ein $R$-Modul. Zeige, dass die Nenneraufnahme $M_S$ mit den in Lemma 26.2 beschriebenen Operationen ein $R_S$-Modul ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Es sei  $𝔭\in \mathrm{Spek}\left(R\right)$  ein Primideal mit  $M_{𝔭}=0$.  Zeige, dass es ein  $f\notin 𝔭$  gibt mit  $M_f=0$. 

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $M$ ein $R$-Modul und  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Der $R_S$-Modul $M_S$ werde durch $n$ Elemente erzeugt. Zeige, dass es dann ein  $g\in S$  derart gibt, dass auch der $R_g$-Modul $M_g$ durch $n$ Elemente erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei  $S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Es sei $M$ ein $R$-Modul, es sei $N$ ein $R_S$-Modul und sei $\phi :M\to N$ ein $R$-Modulhomomorphismus. Zeige, dass dies einen $R_S$-Modulhomomorphismus

$M_S⟶N,\frac{m}{s}⟼s^{-1}\phi (m),$

induziert.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, sei  $f\in R$  und sei $𝔞$ ein Ideal. Zeige, dass  $f\in 𝔞$  genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen $R_{𝔭}$ gilt, dass  $f\in 𝔞R_{𝔭}$  ist.

Aufgabe *

Es seien $𝔣$ und $𝔤$ gebrochene Ideale in einem Dedekindbereich $R$. Es gelte

$𝔣\cdot 𝔤=R.$

Zeige, dass dann

$𝔣={𝔤}^{-1}$

ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei $\phi :M\to N$ ein $R$-Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten $R$-Moduln. Es sei  $𝔭\in \mathrm{Spek}\left(R\right)$  ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus $\phi :M_{𝔭}\to N_{𝔭}$ surjektiv ist. Zeige, dass es ein  $f\notin 𝔭$  derart gibt, dass $\phi :M_f\to N_f$ surjektiv ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein noetherscher kommutativer Ring und sei $\phi :M\to N$ ein $R$-Modulhomomorphismus zwischen endlich erzeugten $R$-Moduln. Es sei  $𝔭\in \mathrm{Spek}\left(R\right)$  ein Primideal derart, dass der induzierte Homomorphismus $\phi :M_{𝔭}\to N_{𝔭}$ injektiv ist. Zeige, dass es ein  $f\notin 𝔭$  derart gibt, dass $\phi :M_f\to N_f$ injektiv ist.

Aufgabe

Zeige anhand von  $R=\mathbb{Z}$  und  $M=\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$,  dass die Aussagen aus Aufgabe 26.3, Aufgabe 26.8 und Aufgabe 26.9 ohne die Voraussetzung der endlichen Erzeugtheit nicht stimmen.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper,

$R=K[X_n,Y_n,n\in \mathbb{N}]/(X_n{Y}_n,n\in \mathbb{N})$

und  $𝔭=(X_n,n\in \mathbb{N})\subseteq R$. 

1. Zeige, dass $𝔭$ ein Primideal ist.
2. Zeige  ${𝔭}_{𝔭}=0$. 
3. Zeige  ${𝔭}_f\ne 0$  für  $f\notin 𝔭$. 
4. Zeige, dass

   $\phi :R⟶R/𝔭$

   lokalisiert in $𝔭$ injektiv (also auch bijektiv) ist, aber keine Nenneraufnahme an einem einzigen Element  $f\notin 𝔭$  injektiv ist.