Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 26

Nenneraufnahme zu einem Modul

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Auf der Produktmenge ${}M\times S$ nennt man die durch

${}(m,s)\sim (m',s')\,,$

falls es ein  ${}t\in S$  mit  ${}ms't=m'st$  gibt, die durch das multiplikative System gegebene Überkreuzrelation.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die auf ${}M\times S$ definierte Überkreuzrelation ist eine Äquivalenzrelation.
2. Auf der Menge ${}M_{S}$ der Äquivalenzklassen

   ${}{\frac {m}{s}}:=[(m,s)]\,$

   ist durch

   ${}{\frac {m}{s}}+{\frac {\tilde {m}}{\tilde {s}}}:={\frac {{\tilde {s}}m+s{\tilde {m}}}{s{\tilde {s}}}}\,$

   eine wohldefinierte Verknüpfung gegeben.

3. Durch

   ${}{\frac {r}{s}}\cdot {\frac {m}{\tilde {s}}}:={\frac {rm}{s{\tilde {s}}}}\,$

   ist eine wohldefinierte Abbildung

   $R_{S}\times M_{S}\longrightarrow M_{S}$

   gegeben.

Beweis

Siehe Aufgabe 26.1.

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Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann versteht man unter der Nenneraufnahme von ${}M$ an ${}S$ die Quotientenmenge zur Überkreuzrelation auf ${}M\times S$ mit den in Lemma 26.2 beschriebenen Verknüpfungen. Die Nenneraufnahme wird mit ${}M_{S}$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring,  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System und ${}M$ ein ${}R$-Modul.

Die Nenneraufnahme ${}M_{S}$ ist mit den in Lemma 26.2 beschriebenen Operationen ein ${}R_{S}$-Modul.

Beweis

Siehe Aufgabe 26.2.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$-Modul und  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Der ${}R_{S}$-Modul ${}M_{S}$ werde durch ${}n$ Elemente erzeugt.

Dann gibt es ein  ${}g\in S$  derart, dass auch der ${}S_{g}$-Modul ${}M_{g}$ durch ${}n$ Elemente erzeugt wird.

Beweis

Siehe Aufgabe 26.4.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ ein ${}R$-Modul und  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System.

1. Der Kern des kanonischen ${}R$-Modulhomomorphismus

   $M\longrightarrow M_{S}$

   ist ${}\left\{m\in M\mid {\text{ es gibt }}s\in S{\text{ mit }}sm=0\right\}$.

2. Die kanonische Abbildung ist genau dann injektiv, wenn für jedes  ${}m\in M$,   ${}m\neq 0$,  gilt

   ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(m\right)}\cap S=\emptyset \,.$

3. Wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist und ${}M$ torsionsfrei, so ist die kanonische Abbildung injektiv.

Beweis

Nenneraufnahme/Kanonische Abbildung/Injektiv/Torsion/Fakt/Beweis

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Es sei ${}M$ ein ${}R$-Modul, es sei ${}N$ ein ${}R_{S}$-Modul und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$-Modulhomomorphismus.

Dann induziert dies einen ${}R_{S}$-Modulhomomorphismus

$M_{S}\longrightarrow N,\,{\frac {m}{s}}\longmapsto s^{-1}\varphi (m).$

Beweis

Siehe Aufgabe 26.5.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Es seien ${}M,N$ Moduln über ${}R$ und sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein ${}R$-Modulhomomorphismus.

Dann ist durch

$M_{S}\longrightarrow N_{S},\,{\frac {m}{s}}\longmapsto {\frac {\varphi (m)}{s}},$

ein ${}R_{S}$-Modulhomomorphismus gegeben.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 26.7.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System. Es seien ${}M,N$ Moduln über ${}R$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt einen kanonischen ${}R_{S}$-Modulhomomorphismus

   ${\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,N\right)}\right)}_{S}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R_{S}}{\left(M_{S},N_{S}\right)}.$

2. Wenn ${}M$ endlich erzeugt ist, so ist dieser Homomorphismus injektiv.
3. Wenn ${}M$ endliche Darstellung besitzt, so ist dieser Homomorphismus bijektiv.

Beweis

1. Gemäß Lemma 26.8 gibt es eine natürliche Abbildung

   $\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,N\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R_{S}}{\left(M_{S},N_{S}\right)},\,\varphi \longmapsto \varphi _{S}.$

   Dieser ist ein ${}R$-Modulhomomorphismus. Da hinten ein ${}R_{S}$-Modul steht, setzt sich diese Abbildung wegen Lemma 26.7 fort zu einem ${}R_{S}$-Modulhomomorphismus

   ${\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,N\right)}\right)}_{S}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R_{S}}{\left(M_{S},N_{S}\right)}.$

2. Es sei

   ${}\psi ={\frac {\varphi }{s}}\,$

   ein Element links, das unter dem Homomorphismus auf ${}0$ abgebildet wird. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{r}$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem von ${}M$. Somit ist  ${}\varphi (v_{i})=0$  in ${}N_{S}$ für jedes ${}i$. Dies bedeutet, dass es auch ein  ${}t\in S$  gibt mit  ${}t\varphi (v_{i})=0$  in ${}N$ für alle ${}i$. Doch dann ist  ${}{\frac {\varphi }{s}}=0$  in ${}{\left(\operatorname {Hom} _{R}{\left(M,N\right)}\right)}_{S}$.

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Lokale Tests

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist  ${}M=0$. 
2. Es ist  ${}M_{\mathfrak {p}}=0$  für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist  ${}M_{\mathfrak {m}}=0$  für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Die einzige Implikation, die nicht direkt klar ist, ist die von (3) nach (1). Sei  ${}M\neq 0$  und  ${}v\in M$  ein von ${}0$ verschiedenes Element. Dann ist der Annullator ${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}$ nicht das Einheitsideal und nach Lemma 10.3 gibt es ein maximales Ideal

${}\operatorname {Ann} _{}{\left(v\right)}\subseteq {\mathfrak {m}}\,.$

Dann ist  ${}M_{\mathfrak {m}}\neq 0$,  da es andernfalls ein  ${}s\notin {\mathfrak {m}}$  mit  ${}sv=0$  geben würde.

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Lemma

Modul/Untermoduln/Lokaler Test/Fakt

Beweis

Modul/Untermoduln/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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Lemma

Komplex/Exaktheit/Lokaler Test/Fakt

Beweis

Komplex/Exaktheit/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist surjektiv.
2. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {p}}\colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ surjektiv für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {m}}\colon M_{\mathfrak {m}}\rightarrow N_{\mathfrak {m}}$ surjektiv für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Modul/Homomorphismus/Surjektiv/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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Bemerkung  

In der Situation von Lemma 26.13 sei eine Überdeckung

${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}=\bigcup _{i=1}^{n}D{\left(f_{i}\right)}\,$

gegeben, die ${}f_{i}$ erzeugen also das Einheitsideal. Es sei  ${}n\in N$  und es seien auf den ${}D{\left(f_{i}\right)}$ Urbilder gegeben, und zwar sei

${}\varphi {\left({\frac {m_{i}}{f_{i}^{r_{i}}}}\right)}=n\,$

in ${}N_{f_{i}}$. Dies bedeutet, dass es Exponenten ${}s_{i}$ gibt mit

${}f_{i}^{s_{i}}\varphi {\left(m_{i}\right)}=f_{i}^{r_{i}+s_{i}}n\,.$

Es sei

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{r_{i}+s_{i}}=1\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{s_{i}}m_{i}\right)}&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{s_{i}}\varphi {\left(m_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{r_{i}+s_{i}}n\\&=n,\end{aligned}}$

es ist also ${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}f_{i}^{s_{i}}m_{i}$ ein Urbild von ${}n$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist injektiv.
2. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {p}}\colon M_{\mathfrak {p}}\rightarrow N_{\mathfrak {p}}$ injektiv für jedes Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.
3. Es ist ${}\varphi _{\mathfrak {m}}\colon M_{\mathfrak {m}}\rightarrow N_{\mathfrak {m}}$ injektiv für jedes maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}$.

Beweis

Modul/Homomorphismus/Injektiv/Lokaler Test/Fakt/Beweis

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