Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}R$. Zeige, dass für jedes  ${}\lambda \in R$  die Beziehung

${}\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einem Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ auf einem freien endlich erzeugten ${}R$- Modul ${}M$ wohldefiniert, also unabhängig von der gewählten Basis ist.