Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 28

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Die Länge eines Modul

Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann nennt man die maximale Länge einer Kette von Untermoduln

die Länge von . Sie wird mit bezeichnet.

Die Länge ist eine natürliche Zahl oder unendlich. Es wird sich herausstellen, dass die Moduln mit endlicher Länge eine restriktive, aber sehr wichtige Klasse von Moduln bilden. Da man sich für das Maximum interessiert kann man grundsätzlich mit starten und mit aufhören. Wenn ein Körper und ein Vektorraum ist, so geht es einfach um die maximale Kette von Untervektorräumen. Diese nennt man Fahnen und bei diesen geht die Vektorraumdimension mit jedem Schritt um hoch. In diesem Fall ist die Länge also einfach die Vektorraumdimension.

Der Nullmodul hat die Länge . Da man sich für maximale Ketten interessiert, erhebt sich insbesondere die Frage, wann man eine Inklusion von Moduln durch Zwischenmoduln verfeinern kann. Ein Zwischenmodul

entspricht einem Untermodul

und so gelangt man zur Fragestellung, welche Moduln nur den Nullmodul und sich selbst als Untermodul besitzen.


Definition  

Ein -Modul über einem kommutativen Ring heißt einfach, wenn er nur die trivialen Untermoduln besitzt.

Ein Modul ist also genau dann einfach, wenn er genau zwei Untermoduln besitzt, nämlich den Nullmodul und sich selbst, und dies ist genau dann der Fall, wenn seine Länge gleich ist.



Lemma  

Ein -Modul über einem kommutativen Ring

ist genau dann einfach, wenn er isomorph zu einem Restklassenkörper zu einem maximalen Ideal von ist.

Beweis  

Zwischen einem maximalen Ideal und dem Ring gibt es keine weiteren Ideale, somit gibt es in keine nichttrivialen Untermoduln und die Restekörper sind einfach. Wenn umgekehrt einfach ist, so muss der von einem Element erzeugte Untermodul schon der ganze Modul sein. Insbesondere gibt es einen surjektiven Modulhomomorphismus

Somit haben wir eine Isomorphie mit einem Ideal . Dabei muss maximal sein, da es andernfalls ein Zwischenideal geben würde, das einem nichttrivialen Untermodul

entsprechen würde, was es im einfachen Fall nicht geben darf.




Lemma  

Es sei eine endliche erzeugte kommutative -Algebra über einem Körper und sei ein -Modul.

Dann besitzt genau dann endliche Länge, wenn als -Vektorraum endlichdimensional ist.

Wenn algebraisch abgeschlossen ist, so stimmt die Länge mit der -Vektorraumdimension überein.

Beweis  

Wenn als -Vektorraum endlichdimensional ist, so hat automatisch endliche Länge, da jeder Untermodul auch ein Untervektorraum ist. Die Rückrichtung zeigen wir durch Induktion über die Länge. Wenn die Länge gleich ist, so ist der Modul einfach und somit nach Fakt ***** von der Form mit einem maximalen Ideal . Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist eine endliche Körpererweiterung und der Modul ist ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei nun ein -Modul endlicher Länge . Dann gibt es eine kurze exakte Sequenz

mit einem einfachen Restklassenmodul und einem -Untermodul kleinerer Länge. Nach Induktionsvoraussetzung bzw. dem Fall einfacher Moduln stehen links und rechts endlichdimensionale -Vektorräume. Daher ist auch der Modul als -Vektorraum endlichdimensional.

Wenn zusätzlich algebraisch abgeschlossen ist, so zeigt man die Gleichheit von Länge und Dimension entsprechend durch Induktion, wobei der Induktionsanfang wiederum auf dem Hilbertschen Nullstellensatz beruht, der hier besagt, dass sämtliche Restklassenkörper isomorph zu selbst sind.


Die komplexen Zahlen haben als -Modul die Länge , aber als -Modul die Länge .


Definition  

Es sei ein -Modul über einem kommutativen Ring . Unter einer Kompositionsreihe für versteht man eine Kette von Untermoduln

mit der Eigenschaft, dass alle Restklassenmoduln , , einfach sind.

Eine Kompositionsreihe ist einfach eine Kette von Untermoduln, die man nicht weiter verfeinern kann, zwischen und liegt kein weiterer Untermodul. Ein Modul endlicher Länge besitzt auch eine Kompositionsreihe, und zwar ist eine jede Kette maximaler Länge automatisch eine Kompositionsreihe, da sie nicht verfeinert werden kann. Umgekehrt besitzt ein Modul mit einer Kompositionsreihe endliche Länge, was nicht selbstverständlich ist.



Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul endlicher Länge.

Dann besitzt jede Kompositionsreihe von diese Länge.

Beweis  

Wir führen Induktion über die Länge des Moduln. Bei gibt es überhaupt nur eine Kompositionsreihe. Sei die Aussage also für jeden Modul der Länge bewiesen und sei

eine Kette von Untermoduln von maximaler Länge. Jede Kompositionsreihe besitzt natürlich höchstens die Länge . Es sei

eine Kompositionsreihe von . Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

Bei muss Gleichheit gelten und dann ist nach Induktionsvoraussetzung. Bei ist die induzierte Abbildung

surjektiv und man hat eine kurze exakte Sequenz

und eine kurze exakte Sequenz

Dabei hat die Länge und nach Induktionsvoraussetzung besitzt die Länge . Dann besitzt eine Länge von zumindest , also und damit .




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und es sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln.

Dann besitzt genau dann endliche Länge, wenn dies für und gilt. In diesem Fall gilt die Additionsformel

Beweis  

Dies folgt aus Fakt *****.




Lemma  

Es sei ein Hauptidealbereich und , . Es sei

eine Primfaktorzerlegung von mit einer Einheit und (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primelementen .

Dann ist die Länge des Restklasssenringes gleich .

Beweis  

Wir führen Induktion nach . Bei ist eine Einheit, der Restklassenring ist der Nullring und dessen Länge ist . Wenn ist, so ist selbst prim und der Restklassenring ist nach Fakt ***** ein Körper, also ein einfacher -Modul, der somit die Länge besitzt. Sei die Aussage nun für bewiesen. Es sei

Dann liegt die Idealinklusion vor, und der Kern des zugehörigen surjektiven Modulhomomorphismus

ist . Dieser -Modul ist wiederum isomorph zu über . Es ist ja genau dann, wenn ist. Somit haben wir eine kurze exakte Sequenz

und die Behauptung folgt aus Fakt *****.




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul.

Dann besitzt genau dann endliche Länge, wenn er sowohl artinsch als auch noethersch ist.

Beweis  


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