Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 28

Das charakteristische Polynom

Definition

Zu einer ${}n\times n$ - Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt das Polynom

{}\chi _{M}:=\det \left(X\cdot E_{n}-M\right)\,

das charakteristische Polynom von ${}M$ .

Für ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ bedeutet dies

{}\chi _{M}=\det {\begin{pmatrix}X-a_{11}&-a_{12}&\ldots &-a_{1n}\\-a_{21}&X-a_{22}&\ldots &-a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n1}&-a_{n2}&\ldots &X-a_{nn}\end{pmatrix}}\,.

Der Grad des charakteristischen Polynoms ist ${}n$ und der Leitkoeffizient ist ${}1$ , d.h. die Gestalt ist

\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,.

Es gilt die wichtige Beziehung

{}\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,

für jedes ${}\lambda \in R$ , siehe Aufgabe 28.1. Hier wird links die Zahl ${}\lambda$ in das Polynom eingesetzt und rechts wird die Determinante von einer Matrix, die von ${}\lambda$ abhängt, ausgerechnet.

Für eine lineare Abbildung

\varphi \colon V\longrightarrow V

auf einem endlich erzeugten freien Modul definiert man das charakteristische Polynom

{}\chi _{\varphi }:=\chi _{M}\,,

wobei ${}A$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der Determinantenmultiplikationssatz zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe Aufgabe 28.2. Das charakteristische Polynom der Identität auf einem freien Modul vom Rang ${}n$ ist

{}\chi _{\operatorname {Id} }=\det \left(XE_{n}-E_{n}\right)=(X-1)^{n}=X^{n}-nX^{n-1}+{\binom {n}{2}}X^{n-2}-{\binom {n}{3}}X^{n-3}+\cdots \pm {\binom {n}{2}}X^{2}\mp nX\pm 1\,.

Der Satz von Cayley-Hamilton

Zu einer fixierten Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ gibt es den Einsetzungsabbildung

R[X]\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(R),\,P\longmapsto P(M).

Dies ist - ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu ${}a\in K$ - ein Ringhomomorphismus, d.h. es gelten die Beziehungen (vergleiche Satz 3.14)

(P+Q)(M)=P(M)+Q(M),\,(P\cdot Q)(M)=P(M)\circ Q(M){\text{ und }}1(M)=E_{n}.

Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}R$ . Es sei

{}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,

das charakteristische Polynom zu ${}M$ .

Dann gilt

${}\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0\,.$

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

Beweis

Wir fassen die Matrix ${}XE_{n}-M$ als eine Matrix auf, deren Einträge im Polynomring ${}R[X]$ liegen. Die adjungierte Matrix

(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }

liegt ebenfalls in ${}\operatorname {Mat} _{n}(R[X])$ . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von ${}(n-1)\times (n-1)$ -Untermatrizen von ${}XE_{n}-M$ . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable ${}X$ maximal in der ersten Potenz vor, sodass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der ${}(n-1)$ -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben

(XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }=X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0}\,

mit Matrizen

{}A_{i}\in \operatorname {Mat} _{n}(R)\,,

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynome in ${}X$ und fasst dann die Koeffizienten zu ${}X^{i}$ zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 22.11 gilt

{}{\begin{aligned}\chi _{M}E_{n}&=(XE_{n}-M)\circ (XE_{n}-M)^{\operatorname {adj} }\\&=(XE_{n}-M)\circ (X^{n-1}A_{n-1}+X^{n-2}A_{n-2}+\cdots +XA_{1}+A_{0})\\&=X^{n}A_{n-1}+X^{n-1}(A_{n-2}-M\circ A_{n-1})+X^{n-2}(A_{n-3}-M\circ A_{n-2})+\cdots +X^{1}(A_{0}-M\circ A_{1})-M\circ A_{0}.\end{aligned}}

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von ${}X$ aufteilen, dann ist

\chi _{M}E_{n}=X^{n}E_{n}+X^{n-1}c_{n-1}E_{n}+X^{n-2}c_{n-2}E_{n}+\cdots +X^{1}c_{1}E_{n}+c_{0}E_{n}\,.

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen

{\begin{matrix}E_{n}&=&A_{n-1}\\c_{n-1}E_{n}&=&A_{n-2}-M\circ A_{n-1}\\c_{n-2}E_{n}&=&A_{n-3}-M\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}E_{n}&=&A_{0}-M\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}

Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit ${}M^{n},M^{n-1},M^{n-2},\ldots ,M^{1},E_{n}$ und erhalten das Gleichungssystem

{\begin{matrix}M^{n}&=&M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-1}M^{n-1}&=&M^{n-1}\circ A_{n-2}-M^{n}\circ A_{n-1}\\c_{n-2}M^{n-2}&=&M^{n-2}\circ A_{n-3}-M^{n-1}\circ A_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}M^{1}&=&MA_{0}-M^{2}\circ A_{1}\\c_{0}E_{n}&=&-M\circ A_{0}\,.\end{matrix}}

Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade ${}\chi _{M}\,(M)$ . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir ${}0$ , da jeder Teilsummand ${}M^{i+1}\circ A_{i}$ einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist ${}\chi _{M}\,(M)=0$ .