Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 9 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 65 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Verknüpfung} {} $\circ$ auf einer Menge $M$.
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.
}{Das
\stichwort {Signum} {}
einer
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
$\pi$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}
}{Ein $\varphi$-\stichwort {invarianter} {}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} zu einem
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine Matrix in \stichwort {jordanscher Normalform} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.}{Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.}{Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{9 (4+5)}
{
a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
bezüglich der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
bilden.
b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ -{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
bezüglich der
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme, ob die drei Funktionen
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ = }{ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ = }{ \cos x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N M
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede
\mathl{n \times n}{-}Matrix $N$ vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der
Cramerschen Regel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq 4$ mit der Basis
\mathbeddisp {x^i} {}
{0 \leq i \leq 4} {}
{} {} {} {.}
Erstelle für die Ableitungsabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {V} {V
} {P} {P'
} {,}
die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.
Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $I$ eine endliche Menge und \maabbdisp {\varphi} {I} {I } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass man $\varphi$ als die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \tau_1 \circ \cdots \circ \tau_k \circ \rho_1 \circ \cdots \circ \rho_m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben kann, wobei die $\tau_i$ Transpositionen und die $\rho_j$ Abbildungen derart sind, dass es
\mathl{r , s \in I}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho {{|}}_{I \setminus \{r\} }
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ I \setminus \{r\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho (r)
}
{ =} {s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3 - 4X+2} { }
die Variable $X$ durch die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{
a) Man gebe ein Beispiel für eine $4 \times 4$-\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{,} bei der in jeder Diagonalen \zusatzklammer {Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen} {} {} höchstens eine $1$ steht.
b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{11}
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -4 & -1 & -2 & 3 \\ 6 & 7 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,}
den wir auch als
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{}
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{}
ist.
}
{} {}