Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 9 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 2 }

\renewcommand{\aelf}{ 4 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 65 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

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\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesiebzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Verknüpfung} {} $\circ$ auf einer Menge $M$.

}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.

}{Das \stichwort {Signum} {} einer \definitionsverweis {Permutation}{}{} $\pi$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}

}{Ein $\varphi$-\stichwort {invarianter} {} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} zu einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Eine Matrix in \stichwort {jordanscher Normalform} {.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.}{Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.}{Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{9 (4+5)}
{

a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
bezüglich der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bilden.

b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & - { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ -{ \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \\ { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
bezüglich der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme, ob die drei Funktionen \maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(x) }
{ = }{ \sin x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(x) }
{ = }{ \cos x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {linear abhängig}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2 } {} mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N M }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jede
\mathl{n \times n}{-}Matrix $N$ vom \definitionsverweis {Rang}{}{} $1$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \\7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe der Cramerschen Regel.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $V$ der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad $\leq 4$ mit der Basis
\mathbeddisp {x^i} {}
{0 \leq i \leq 4} {}
{} {} {} {.} Erstelle für die Ableitungsabbildung \maabbeledisp {\varphi} {V} {V } {P} {P' } {,} die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es sei $I$ eine endliche Menge und \maabbdisp {\varphi} {I} {I } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass man $\varphi$ als die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}


\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \tau_1 \circ \cdots \circ \tau_k \circ \rho_1 \circ \cdots \circ \rho_m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben kann, wobei die $\tau_i$ Transpositionen und die $\rho_j$ Abbildungen derart sind, dass es
\mathl{r , s \in I}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho {{|}}_{I \setminus \{r\} } }
{ =} { \operatorname{Id}_{ I \setminus \{r\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho (r) }
{ =} {s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente $a_1 , \ldots , a_n \in K$ und $n$ Elemente $b_1 , \ldots , b_n \in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i) }
{ = }{ b_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $i$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Berechne das Ergebnis, wenn man im \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3 - 4X+2} { }
die Variable $X$ durch die $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+2)}
{

a) Man gebe ein Beispiel für eine $4 \times 4$-\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{,} bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine $1$ steht.

b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der
\mathl{a_{11} = 1}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -4 & -1 & -2 & 3 \\ 6 & 7 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 6 & 2 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist oder nicht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} den wir auch als \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{} \definitionsverweis {affin unabhängig}{}{} ist.

}
{} {}