Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 9 4 4 4 4 4 2 4 6 6 2 3 3 1 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  3. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .
  4. Das Signum einer Permutation auf .
  5. Ein -invarianter Untervektorraum zu einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  6. Eine Matrix in jordanscher Normalform.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
  2. Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.
  3. Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.


Aufgabe * (2 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)

a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.

b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, ob die drei Funktionen

mit , und linear abhängig sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper . Es sei

für jede -Matrix vom Rang . Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad mit der Basis

Erstelle für die Ableitungsabbildung

die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine endliche Menge und

eine Abbildung. Zeige, dass man als die Hintereinanderschaltung

schreiben kann, wobei die Transpositionen und die Abbildungen derart sind, dass es gibt mit

und


Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für eine -Permutationsmatrix, bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine steht.

b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ein -Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien . Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn die Familie affin unabhängig ist.