Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 1 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 7 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 65 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {neutrales Element} {}
\mathl{e \in M}{} zu einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {.}
}{Ein \stichwort {inhomogenes lineares Gleichungssystem} {} mit $m$ Gleichungen in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Diagonalmatrix} {.}
}{\stichwort {Isomorphe} {} Vektorräume.
}{Die \stichwort {Spur} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {trigonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Es sei eine Menge $M$ mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M
} {(x,y)} {x \circ y
} {,}
gegeben. Dann heißt ein Element
\mathl{e \in M}{} neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle
\mathl{x \in M}{} die Gleichheit
\mathdisp {x \circ e = x =e \circ x} { }
gilt.
}{Das System
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die
\mathl{a_{ij}}{} und die $c_i$ aus $K$ sind.
}{Eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_{ n-1\, n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & d_{ n n} \end{pmatrix}} { }
nennt man Diagonalmatrix.
}{Zwei
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
heißen isomorph, wenn es einen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
von $V$ nach $W$ gibt.
}{Die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
werde bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ beschrieben. Dann nennt man
\mathl{\operatorname{Spur} { \left( M \right) }}{} die
Spur
von $\varphi$.
}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
heißt
trigonalisierbar,
wenn sie bezüglich einer geeigneten
\definitionsverweis {Basis}{}{}
durch eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
beschrieben wird.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Dimension des Standardraumes.}{Der Satz über das Signum und Transpositionen.}{Das \stichwort {Lemma von Bezout} {} für Polynome.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N}{.} Dann besitzt der Standardraum $K^n$ die Dimension $n$.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ =} { \tau_1 \cdots \tau_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als ein Produkt von $r$
\definitionsverweis {Transpositionen}{}{}
geschrieben. Dann gilt für das
\definitionsverweis {Signum}{}{}
die Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{sgn}(\pi)
}
{ =} {(-1)^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
über $K$. Es sei $G$ ein
\definitionsverweis {größter gemeinsamer Teiler}{}{}
der $P_i$. Dann gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {Q_1P_1 + \cdots + Q_nP_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n \in K[X]}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass die Menge der
\definitionsverweis {Diagonalmatrizen}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Raum aller
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über $K$ ist und bestimme seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{.}
}
{
Zu zwei Diagonalmatrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b_n \end{pmatrix}} { }
und Skalare
\mathl{s,t \in K}{} ist auch
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ s\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} b_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & b_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & b_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & b_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} sa_1+tb_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & sa_2+tb_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & sa_{n-1}+tb_{n-1} & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & sa_n+tb_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Diagonalmatrix, daher liegt ein Untervektorraum vor. Die Diagonalmatrizen
\mathbed {D_i} {}
{1 \leq i \leq n} {}
{} {} {} {,}
deren $i$-ter Diagonaleintrag eine $1$ ist und die sonst überall Nulleinträge haben, bilden offenbar eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des Raumes der Diagonalmatrizen. Daher ist die Dimension gleich $n$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix}, \, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} {v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix}} {und} {v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^4$.
}
{
In den Spalten von
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }}{} müssen die Koordinaten der Vektoren $v_j$ bezüglich der Standardbasis $u_i$ stehen, also ist direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Umgekehrt ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ = }{ v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_2
}
{ = }{ v_4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_3
}
{ = }{ v_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_4
}
{ = }{ v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte \anfuehrung{Gaumenfreude}{} zu ernähren. Eine Tafel
besitzt einen Energiewert von
\mathl{2300}{} kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist
\mathl{10000}{} kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag
\zusatzklammer {gerundet auf zwei Nachkommastellen} {} {}
und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?
}
{
Er muss pro Tag ca.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 10000 }{ 2300 } }
}
{ =} { 4{,}35
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Tafeln essen, in der Woche also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 \cdot 4{,}35
}
{ =} { 30{,}45
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Tafeln.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
Es sei
\mathl{v \in V}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v)
}
{ = }{- \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v) + \varphi(-v)
}
{ =} { \varphi(v-v)
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind
\mathkor {} {\varphi(v)} {und} {\varphi(-v)} {}
zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(-v)
}
{ =} {- \varphi(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit $\operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) } =n$ und $\operatorname{dim}_{ } { \left( W \right) }=m$. Welche Dimension besitzt der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} $V \times W$?
}
{
Der Produktraum besitzt die Dimension $n+m$. Um dies zu beweisen sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ und $w_1 , \ldots , w_m$ eine Basis von $W$. Wir behaupten, dass die Elemente
\mathdisp {(v_j,0),\, j \in { \{ 1 , \ldots , n \} }, \text{ und } (0,w_i), \,i \in \{ 1 , \ldots , m \}} { , }
eine Basis von $V \times W$ bilden.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (v,w)
}
{ \in }{ V \times W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gibt es Darstellungen
\mathdisp {v= \sum_{ j = 1 }^{ n } a_jv_j \text{ und } w= \sum_{ i = 1 }^{ m } b_iw_i} { . }
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(v,w)
}
{ =} { ( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_jv_j , \sum_{ i = 1 }^{ m } b_iw_i )
}
{ =} { ( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_jv_j , 0 ) +( 0 , \sum_{ i = 1 }^{ m } b_iw_i )
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j (v_j,0) + \sum_{ i = 1 }^{ m } b_i (0,w_i)
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.
Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{ n } a_j (v_j,0) + \sum_{ i = 1 }^{ m } b_i (0,w_i)
}
{ =} { 0
}
{ =} { (0,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_jv_j , \sum_{ i = 1 }^{ m } b_iw_i )
}
{ =} { (0,0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und das bedeutet
\mathdisp {\sum_{ j = 1 }^{ n } a_jv_j = 0 \text{ und } \sum_{ i = 1 }^{ m } b_iw_i = 0} { . }
Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu $M$.
c) Löse die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {\begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 121-120 & -220+220 \\ 66-66 & -120+121 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Nach Teil a) ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {E_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist $M$ invertierbar und stimmt mit seinem Inversen überein, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^{-1}
}
{ =} {M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Wir wenden auf die Gleichung beidseitig die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M^{-1}
}
{ = }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { M \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 11 & -20 \\ 6 & -11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 44+180 \\24+99 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 224 \\123 \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei
\mathl{M=(a_{ij})_{ij}}{.} Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien
\mathdisp {b_{ik} =(-1)^{i+k} \det M_{ki}} { . }
Die Koeffizienten des Produktes
\mathl{(M^{ \operatorname{adj} }) \cdot M}{} sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{ij}
}
{ =} { \sum_{ k = 1 }^{ n } b_{ik} a_{kj}
}
{ =} { \sum_{ k = 1 }^{ n } (-1)^{i+k} a_{kj} \det M_{ki}}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.} Bei
\mathl{j=i}{} ist dies
\mathl{\det M}{,} da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der $j$-ten Spalte handelt. Es sei
\mathl{j \neq i}{} und es sei $N$ die Matrix, die aus $M$ entsteht, wenn man in $M$ die $i$-te Spalte durch die $j$-te Spalte ersetzt. Wenn man $N$ nach der $i$-ten Spalte entwickelt, so ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { \det N
}
{ =} { \sum_{ k = 1 }^{ n } (-1)^{i+k} a_{kj} \det M_{ki}
}
{ =} { c_{ij}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also sind diese Koeffizienten $0$, und damit stimmt die erste Gleichung.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$, wobei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ sei. Es sei $\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }$ der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
von \mathkor {} {V} {nach} {W} {.} Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {F} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} {W^n } {
\varphi} {F(\varphi) := \left( \varphi(v_1) , \, \ldots , \, \varphi(v_n) \right) } {,}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
von $K$-Vektorräumen ist.
}
{
Es seien
\mathl{a,b \in K}{} und
\mathl{\varphi, \psi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }}{.} Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{F (a \varphi +b \psi)
}
{ =} { \left( (a \varphi +b \psi)(v_1) , \, \ldots , \, (a \varphi +b \psi)(v_n) \right)
}
{ =} { \left( a \varphi (v_1) +b \psi(v_1) , \, \ldots , \, a \varphi(v_n) +b \psi (v_n) \right)
}
{ =} { a \left( \varphi (v_1) , \, \ldots , \, \varphi(v_n) \right) +b \left( \psi (v_1) , \, \ldots , \, \psi(v_n) \right)
}
{ =} {a F ( \varphi) +b F( \psi)
}
}
{}
{}{}
und somit liegt eine lineare Abbildung vor. Die Abbildung ist bijektiv aufgrund von
Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)),
da ein $n$-Tupel
\mathl{\left( w_1 , \, \ldots , \, w_n \right) \in W^n}{} die willkürliche Vorgabe von Werten für die Basisvektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bedeutet.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (4+1+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 8 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 7 \\1\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\4\\ 2 \end{pmatrix} \rangle
}
{ \subseteq} { K^3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Beschreibe den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} $W$ der $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{,} die den Untervektorraum $U$ in den Untervektorraum $T$ abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.
b) Beschreibe $W$ durch ein eliminiertes Gleichungssystem.
c) Bestimme die Dimension von $W$.
}
{
a) Wir beschreiben zuerst $T$ als Kern einer Linearform. Das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7x+y+3z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x+4y+2z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt auf
\zusatzklammer {
\mathl{-2I+3II}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+10 y
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mathl{\left( 10 , \, -1 , \, -23 \right)}{} eine Lösung und $T$ ist der Kern der durch
\mathl{\left( 10 , \, -1 , \, -23 \right)}{} gegebenen Linearform auf $K^3$. Die Bedingung, dass eine
\mathl{3 \times 3}{-}Matrix $M$ den Untervektorraum $U$ nach $T$ abbildet, bedeutet also, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \left( 10 , \, -1 , \, -23 \right) \circ M \right) } u
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{u \in U}{} ist, was auf der gegebenen Basis von $U$ überprüft werden kann. Wenn man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\g & h & k \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ansetzt, so müssen die beiden Bedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( 10 , \, -1 , \, -23 \right) \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\g & h & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 8 \end{pmatrix}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( 10 , \, -1 , \, -23 \right) \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\g & h & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\1\\ -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt sein. Die erste Bedingung bedeutet
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { \left( 10a-d-23g , \, 10b -e-23h , \, 10c-f-23k \right) \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 8 \end{pmatrix}
}
{ =} { 30a -3d-69g+40 b-4e -92h+80c-8f-184k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und die zweite Bedingung bedeutet
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { \left( 10a-d-23g , \, 10b -e-23h , \, 10c-f-23k \right) \begin{pmatrix} 2 \\1\\ -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { 20a - 2d-46 g+10 b- e - 23 h-10c +f +23k
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
b) Wir eliminieren, indem wir, bezogen auf die beiden zuletzt formulierten Bedingungen, die Linearkombination 2I-3II berechnen. Dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{50 b- 5 e -115 h+ 190 c -19f -437 k
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
ein beschreibendes eliminiertes lineares Gleichungssystem ist also durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 30a -3d-69g+40 b-4e -92h+80c-8f-184k
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{50 b- 5 e -115 h+ 190 c -19f -437 k
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
gegeben.
c) Da die beiden Gleichungen linear unabhängig sind, besitzt der Lösungsraum die Dimension $7$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Permutation8.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Permutation8.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.
}
{Permutation/Überschneidungsfrei/1/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Wir betrachten in
\mathl{\Q[X]}{} die beiden
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
\mathkor {} {(X-2)} {und} {(X+3)} {.}
Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {(X-2) \cap (X+3)} { }
gleich dem Hauptideal
\mathl{( (X-2)\cdot(X+3) )}{} ist.
}
{
Das Produkt
\mathl{(X-2)(X+3)}{} gehört zu den beiden Hauptidealen
\mathkor {} {(X-2)} {und} {(X+3)} {,}
also auch zum Durchschnitt
\mathl{(X-2) \cap (X+3)}{.} Da der Durchschnitt von Idealen wieder ein Ideal ist, gehören auch alle Vielfachen von
\mathl{(X-2)(X+3)}{} zu diesem Ideal.
Es sei umgekehrt
\mathl{F \in (X-2) \cap (X+3)}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { (X-2)P
}
{ =} { (X+3)Q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit gewissen Polynomen
\mathl{P,Q \in \Q[X]}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(2)
}
{ =} { 0
}
{ =} { 5 \cdot Q(2)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In $\Q$ folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q(2)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich nach
Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)),
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {(X-2) G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Also ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {(X+3) Q
}
{ =} { (X+3)(X-2) G
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{F \in (X-2)(X+3)}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper $K$.
}
{
Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $d$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage offensichtlich richtig. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Es sei $a$ eine Nullstelle von $P$
\zusatzklammer {falls $P$ keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ Q(X-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
und $Q$ hat den Grad
\mathl{d-1}{,} so dass wir auf $Q$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom $Q$ hat also maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(b)
}
{ = }{ Q(b)(b-a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies kann nach
Satz . (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) (5)
nur dann $0$ sein, wenn einer der Faktoren $0$ ist, so dass eine Nullstelle von $P$ gleich $a$ ist oder aber eine Nullstelle von $Q$ ist. Es gibt also maximal $d$ Nullstellen von $P$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.
}
{
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { }
ist
\mathdisp {(X-6)(X-2)(X-7)} { . }
Es zerfällt also in Linearfaktoren mit verschiedenen Nullstellen und daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind $2,6,7$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} -4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \\0 & 0 & -5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein Eigenvektor zum Eigenwert $2$ ist
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\-4\\ 0 \end{pmatrix}}{.} Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & -4 \\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein Eigenvektor zum Eigenwert $6$ ist
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}}{.} Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 5 & -4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein Eigenvektor zum Eigenwert $6$ ist
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\4\\ 5 \end{pmatrix}}{.} Eine Basis aus Eigenvektoren ist also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\-4\\ 0 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 4 \\4\\ 5 \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
mit dem
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} {X^n + c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2} + \cdots + c_2X^2+c_1X+c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme das charakteristische Polynom der mit
\mathl{s \in K}{} gestreckten Matrix
\mathl{sM}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{(a_{ij})_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{sM
}
{ =} { \begin{pmatrix} s a_{11} & sa_{12} & \ldots & sa_{1n} \\ sa_{21} & sa_{22} & \ldots & sa_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ sa_{n1} & sa_{n2} & \ldots & sa_{nn} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei zunächst
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ sM }
}
{ =} { \det (X E_n - sM)
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} X- s a_{11} & sa_{12} & \ldots & sa_{1n} \\ sa_{21} & X- sa_{22} & \ldots & sa_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ sa_{n1} & sa_{n2} & \ldots & X-sa_{nn} \end{pmatrix}
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} s { \left( { \frac{ X }{ s } }- a_{11} \right) } & sa_{12} & \ldots & sa_{1n} \\ sa_{21} & s { \left( { \frac{ X }{ s } }- a_{22} \right) } & \ldots & sa_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ sa_{n1} & sa_{n2} & \ldots & s { \left( { \frac{ X }{ s } }- a_{nn} \right) } \end{pmatrix}
}
{ =} { s^n \cdot \det \begin{pmatrix} { \frac{ X }{ s } }- a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & { \frac{ X }{ s } }- a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & { \frac{ X }{ s } }- a_{nn} \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { s^n \cdot \chi_{ M } { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Hier steht also das charakteristische Polynom zu $M$, wobei man die Variable überall durch
\mathl{{ \frac{ X }{ s } }}{} ersetzt, und das Ganze mit $s^n$ multipliziert. Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ sM }
}
{ =} { s^n { \left( { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }^n + c_{n-1} { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }^{n-1}+c_{n-2} { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }^{n-2} + \cdots + c_2 { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }^2+c_1 { \left( { \frac{ X }{ s } } \right) }+c_0 \right) }
}
{ =} { X^n + sc_{n-1}X^{n-1}+s^2c_{n-2}X^{n-2} + \cdots + s^{n-2}c_2X^2+s^{n-1}c_1X+s^nc_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dieser Zusammenhang gilt auch bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da dann
\mathl{sM}{} die Nullmatrix ist, deren charakteristisches Polynom gleich $X^n$ ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{
Beweise den Satz über baryzentrische Koordinaten.
}
{
Es sei
\mathl{i_0 \in I}{} fixiert. Es gibt dann in $V$ eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ P_{i_0} P }
}
{ =} { \sum_{ i \in I \setminus \{i_0\} } a_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{i_0}
}
{ \defeq} { 1 - \sum_{ i \in I \setminus \{i_0\} } a_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{ i \in I } a_i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P
}
{ =} { P_{i_0} + \overrightarrow{ P_{i_0} P }
}
{ =} { P_{i_0} + \sum_{ i \in I \setminus \{i_0\} } a_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ =} { P_{i_0} + a_{i_0} \overrightarrow{ P_{i_0} P_{i_0} } + \sum_{ i \in I \setminus \{i_0\} } a_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
{ =} { P_{i_0} + \sum_{ i \in I } a_i \overrightarrow{ P_{i_0} P_i }
}
}
{}
{}{.}
Es gibt also eine solche Darstellung mit $P_{i_0}$ als Ursprung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die
\mathbed {a_i} {}
{i \neq i_0} {}
{} {} {} {,}
durch die eindeutig bestimmten Koeffizienten der Vektorraumbasis festgelegt sind und dass $a_{i_0}$ durch die baryzentrische Bedingung festgelegt ist.
}