Kurs:Lineare Algebra/Teil I/13/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 2 2 1 5 3 6 4 6 1 6 4 4 6 7 65




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein neutrales Element zu einer Verknüpfung
  2. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit Gleichungen in Variablen über einem Körper .
  3. Eine Diagonalmatrix.
  4. Isomorphe Vektorräume.
  5. Die Spur zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .
  6. Eine trigonalisierbare lineare Abbildung , wobei ein endlichdimensionaler -Vektorraum ist.


Lösung

  1. Es sei eine Menge mit einer Verknüpfung

    gegeben. Dann heißt ein Element neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle die Gleichheit

    gilt.

  2. Das System
    heißt ein inhomogenes lineares Gleichungssystem, wobei die und die aus sind.
  3. Eine -Matrix der Form

    nennt man Diagonalmatrix.

  4. Zwei -Vektorräume und heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von nach gibt.
  5. Die lineare Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man die Spur von .
  6. Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Eine lineare Abbildung heißt trigonalisierbar, wenn sie bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix beschrieben wird.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Dimension des Standardraumes.
  2. Der Satz über das Signum und Transpositionen.
  3. Das Lemma von Bezout für Polynome.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und . Dann besitzt der Standardraum die Dimension .
  2. Sei und sei eine Permutation auf . Es sei

    als ein Produkt von Transpositionen geschrieben. Dann gilt für das Signum die Darstellung

  3. Es sei ein Körper und seien Polynome über . Es sei ein größter gemeinsamer Teiler der . Dann gibt es eine Darstellung
    mit .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Körper und . Zeige, dass die Menge der Diagonalmatrizen ein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen über ist und bestimme seine Dimension.


Lösung

Zu zwei Diagonalmatrizen

und Skalare ist auch

ebenfalls eine Diagonalmatrix, daher liegt ein Untervektorraum vor. Die Diagonalmatrizen , , deren -ter Diagonaleintrag eine ist und die sonst überall Nulleinträge haben, bilden offenbar eine Basis des Raumes der Diagonalmatrizen. Daher ist die Dimension gleich .


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Lösung

In den Spalten von müssen die Koordinaten der Vektoren bezüglich der Standardbasis stehen, also ist direkt

Umgekehrt ist wegen


Aufgabe (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?


Lösung

Er muss pro Tag ca.

Tafeln essen, in der Woche also

Tafeln.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei

eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und . Es sei . Zeige .


Lösung

Es ist

Daher sind und zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit und . Welche Dimension besitzt der Produktraum ?


Lösung

Der Produktraum besitzt die Dimension . Um dies zu beweisen sei eine Basis von und eine Basis von . Wir behaupten, dass die Elemente

eine Basis von bilden.

Sei . Dann gibt es Darstellungen

Daher ist

d.h., es liegt ein Erzeugendensystem vor.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit sei

angenommen. Die gleiche Rechnung rückwärts ergibt

und das bedeutet

Da es sich jeweils um Basen handelt, folgt für alle und für alle .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

a) Zeige

b) Bestimme die inverse Matrix zu .

c) Löse die Gleichung


Lösung

a) Es ist

b) Nach Teil a) ist

also ist invertierbar und stimmt mit seinem Inversen überein, also

c) Wir wenden auf die Gleichung beidseitig die Matrix an und erhalten


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.


Lösung

Sei . Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien

Die Koeffizienten des Produktes sind

Bei ist dies , da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der -ten Spalte handelt. Sei und es sei die Matrix, die aus entsteht, wenn man in die -te Spalte durch die -te Spalte ersetzt. Wenn man nach der -ten Spalte entwickelt, so ist dies

Also sind diese Koeffizienten , und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Geichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über , wobei endlichdimensional und eine Basis von sei. Es sei der -Vektorraum der linearen Abbildungen von nach . Zeige, dass die Abbildung

ein Isomorphismus von -Vektorräumen ist.


Lösung

Seien und . Dann ist

und somit liegt eine lineare Abbildung vor. Die Abbildung ist bijektiv aufgrund von Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)), da ein -Tupel die willkürliche Vorgabe von Werten für die Basisvektoren bedeutet.


Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

und

a) Beschreibe den Untervektorraum der -Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von .


Lösung

a) Wir beschreiben zuerst als Kern einer Linearform. Das lineare Gleichungssystem

führt auf ()

Daher ist eine Lösung und ist der Kern der durch gegebenen Linearform auf . Die Bedingung, dass eine -Matrix den Untervektorraum nach abbildet, bedeutet also, dass

für ist, was auf der gegebenen Basis von überprüft werden kann. Wenn man

ansetzt, so müssen die beiden Bedingungen

und

erfüllt sein. Die erste Bedingung bedeutet

und die zweite Bedingung bedeutet

b) Wir eliminieren, indem wir, bezogen auf die beiden zuletzt formulierten Bedingungen, die Linearkombination 2I-3II berechnen. Dies ergibt

ein beschreibendes eliminiertes lineares Gleichungssystem ist also durch

und

gegeben.

c) Da die beiden Gleichungen linear unabhängig sind, besitzt der Lösungsraum die Dimension .


Aufgabe (1 Punkt)

Permutation8.png

Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.


Lösung Permutation/Überschneidungsfrei/1/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten in die beiden Hauptideale und . Zeige, dass der Durchschnitt

gleich dem Hauptideal ist.


Lösung

Das Produkt gehört zu den beiden Hauptidealen und , also auch zum Durchschnitt . Da der Durchschnitt von Idealen wieder ein Ideal ist, gehören auch alle Vielfachen von zu diesem Ideal.

Sei umgekehrt . Dann ist

mit gewissen Polynomen . Daher ist

In folgt daraus

Daraus ergibt sich nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)), dass

ist. Also ist insgesamt

also .


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .


Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über . Für ist die Aussage offensichtlich richtig. Sei also und die Aussage sei für kleinere Grade bereits bewiesen. Sei eine Nullstelle von (falls keine Nullstelle besitzt, sind wir direkt fertig), Dann ist nach Lemma 19.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) und hat den Grad , so dass wir auf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Das Polynom hat also maximal Nullstellen. Für gilt . Dies kann nur dann sein, wenn einer der Faktoren ist, so dass eine Nullstelle von gleich ist oder aber eine Nullstelle von ist. Es gibt also maximal Nullstellen von .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

über diagonalisierbar ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren.


Lösung

Das charakteristische Polynom zu

ist

Es zerfällt also in Linearfaktoren mit verschiedenen Nullstellen und daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind . Es ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Ferner ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Schließlich ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert ist . Eine Basis aus Eigenvektoren ist also


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine -Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

Bestimme das charakteristische Polynom der mit gestreckten Matrix .


Lösung

Es sei , somit ist

Sei zunächst

Es ist

Hier steht also das charakteristische Polynom zu , wobei man die Variable überall durch ersetzt, und das Ganze mit multipliziert. Daher ist

Dieser Zusammenhang gilt auch bei , da dann die Nullmatrix ist, deren charakteristisches Polynom gleich ist.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über baryzentrische Koordinaten.


Lösung

Sei fixiert. Es gibt dann in eine eindeutige Darstellung

Wir setzen

Dann ist und

Es gibt also eine solche Darstellung mit als Ursprung. Die Eindeutigkeit folgt daraus, dass die , , durch die eindeutig bestimmten Koeffizienten der Vektorraumbasis festgelegt sind und dass durch die baryzentrische Bedingung festgelegt ist.