Kurs:Lineare Algebra/Teil I/19/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 7 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} zu einer Familie
\mathbed {M_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}
}{Eine
\mathl{m \times n}{-}\stichwort {Matrix} {} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Die \stichwort {Determinante} {} eines Endomorphismus \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {geometrische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Die \stichwort {Dimension} {} eines \definitionsverweis {affinen Raumes}{}{} $E$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}{Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{}.}{Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \setminus C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \cap C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne
\mathdisp {(x+ { \mathrm i} y)^n} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+7 y &
\, \, \, \, - z &
-3 w & = & 0 \\ x &
+ y &
+2 z &
\, \, \, \, - w & = & 1 \\ &
+2 y &
-3 z &
+2 w & = & 3 \\ &
\, \, \, \, - y &
-5 z &
+4 w & = & -2 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme \zusatzklammer {ohne Begründung} {} {,} welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im $\R^2$ als Lösungsmenge eines linearen \zusatzklammer {inhomogenen} {} {} Gleichungssystems auftreten können \zusatzklammer {man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt} {} {.}
\aufzaehlungfuenf{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {AY 3 8910 obwiednia 1100.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { AY 3 8910 obwiednia 1100.svg } {} {Masur} {Commons} {gemeinfrei} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Primka.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Primka.png } {} {Vojtech001} {Commons} {gemeinfrei} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Point and line.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Point and line.png } {} {Περίεργος} {el. Wikipedia} {GnuFDL} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disk 1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Disk 1.svg } {} {Paris 16} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Zero-dimension.GIF} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Zero-dimension.GIF } {} {File Upload Bot (Magnus Manske)} {Commons} {Gemeinfrei} {}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_k
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$K^2$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jedem $k$ gebe es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabbdisp {\varphi_k} { V } { K
} {}
mit
\mathdisp {\varphi_k(v_k) \neq 0 \text{ und } \varphi_k(v_i) = 0 \text{ für } i \neq k} { . }
Zeige, dass die
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Signum}{}{} einer \definitionsverweis {Transposition}{}{} gleich $-1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 4 & -5 \\ 0 & -1 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \leq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es genau dann einen
\definitionsverweis {invarianten Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Dimension $k$ gibt, wenn es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ gibt, bezüglich der die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
von $\varphi$ die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1k} & a_{1k+1} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{k1} & \ldots & a_{kk} & a_{k k+1} & \ldots & a_{kn} \\
0 & \ldots & 0 & a_{k+1 k+1} & \ldots & a_{k+1 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & \ldots & 0 & a_{n k+1} & \ldots & a_{n n}
\end{pmatrix}} { }
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das Lemma von Bezout für Polynome.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Jordan-Matrix}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
der Potenzen
\mathl{M^n}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}