Kurs:Lineare Algebra/Teil I/19/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 2 2 4 2 1 2 5 4 6 2 7 4 5 7 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge zu einer Familie , .
  2. Eine -Matrix über einem Körper .
  3. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .

  4. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  5. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .
  6. Die Dimension eines affinen Raumes .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten -Vektorraum .
  2. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms .
  3. Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.


Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).


  1. AY 3 8910 obwiednia 1100.svg










  2. Primka.png











  3. Point and line.png











  4. Disk 1.svg












  5. Zero-dimension.GIF







Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es seien und . Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper. Der -Vektorraum sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die Untervektorräume , die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.


Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien und Matrizen über einem Körper mit

Zeige, dass dann auch

gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum und . Zu jedem gebe es eine Linearform

mit

Zeige, dass die linear unabhängig sind.


Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass das Signum einer Transposition gleich ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Sei . Zeige, dass es genau dann einen invarianten Untervektorraum gibt, wenn es eine Basis von gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von die Gestalt

besitzt.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für Polynome.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

eine Jordan-Matrix. Bestimme die jordansche Normalform der Potenzen für alle .