Kurs:Lineare Algebra/Teil I/19/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	$\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	4	2	1	2	5	4	6	2	2	5	4	5	7	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine surjektive Abbildung

   $f:L⟶M.$

2. Eine $m\times n$-Matrix über einem Körper $K$.
3. Die Determinante eines Endomorphismus

   $\phi :V⟶V$

   auf einem endlichdimensionalen Vektorraum $V$.

4. Die geometrische Vielfachheit von einem Eigenwert $\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\phi :V⟶V$

   auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.

5. Das charakteristische Polynom zu einer $n\times n$-Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$.
6. Die Dimension eines affinen Raumes $E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten $K$-Vektorraum $V$.
2. Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms $F\in K[X]$.
3. Der Satz über die Beschreibung eines Eigenraums als Kern.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien $A,B$ und $C$ Mengen. Beweise die Identität

$A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C).$

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne

$(x+\mathrm{i}y{)}^n.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

$\begin{array}{cccccc}x& +7y& -z& -3w& =& 0\\ x& +y& +2z& -w& =& 1\\ & +2y& -3z& +2w& =& 3\\ & -y& -5z& +4w& =& -2.\end{array}$

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Matrizenmultiplikation von quadratischen Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im ${ℝ}^2$ als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

5. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise das Superpositionsprinzip für lineare Gleichungssysteme.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es seien  $s_1,\dots ,s_k\in K$  und  $v_1,\dots ,v_n\in V$.  Zeige

$\left(\sum _{i=1}^k{s}_i\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^n{v}_j\right)=\sum _{1\le i\le k,1\le j\le n}{s}_i\cdot v_j.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Der $K$-Vektorraum $K^2$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme die Untervektorräume  $U\subseteq K^2$,  die unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien  $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$  und  $A=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$  Matrizen über einem Körper $K$ mit

$A\circ M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Zeige, dass dann auch

$M\circ A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum und  $v_1,\dots ,v_n\in V$.  Zu jedem $k$ gebe es eine Linearform

${\phi }_k:V⟶K$

mit

${\phi }_k(v_k)\ne 0\text{ und }{\phi }_k(v_i)=0\text{ für }i\ne k.$

Zeige, dass die $v_1,\dots ,v_n$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $M$ eine $2\times 2$-Matrix. Zeige

$\mathrm{Spur}\left(M\right)=1+det\left(M\right)-det(E_2-M).$

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass das Signum einer Transposition gleich $-1$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -5\\ 0& -1& 4\\ 0& 0& 7\end{array}\right)$

gegebenen linearen Abbildung

$\phi :{ℝ}^3⟶{ℝ}^3,v⟼Mv.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$. Es sei  $k\le n$.  Zeige, dass es genau dann einen invarianten Untervektorraum  $U\subseteq V$  der Dimension $k$ gibt, wenn es eine Basis von $V$ gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von $\phi$ die Gestalt

$\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \dots & a_{1k}& a_{1k+1}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{k1}& \dots & a_{kk}& a_{kk+1}& \dots & a_{kn}\\ 0& \dots & 0& a_{k+1k+1}& \dots & a_{k+1n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 0& \dots & 0& a_{nk+1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$

besitzt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Lemma von Bézout für Polynome.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$M=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

eine Jordan-Matrix. Bestimme die jordansche Normalform der Potenzen $M^n$ für alle  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.