Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 8 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Das \stichwort {Bild} {} einer Abbildung \maabbdisp {F} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {Vektorraum} {} $V$ über einem Körper $K$.
}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Transposition} {} auf einer endlichen Menge $M$.
}{Der
\stichwort {Hauptraum} {}
zu einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
$\varphi$ auf einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und einem Eigenwert
\mathl{\lambda \in K}{.}
}{Eine \stichwort {Jordanmatrix} {} zu einem Eigenwert $\lambda$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Das Bild von $F$ ist die Menge
\mathdisp {{ \left\{ y \in M \mid \text{es gibt ein } x \in L \text{ mit } F(x)= y \right\} }} { . }
}{Unter einem Vektorraum $V$ über $K$ versteht man eine Menge $V$ mit einem ausgezeichneten Element
\mathl{0 \in V}{} und mit zwei Abbildungen
\maabbeledisp {+} {V \times V} {V
} {(u,v)} {u+v
} {,}
und
\maabbeledisp {} {K \times V } {V
} {(s,v) } {s v = s \cdot v
} {,}
derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind
\zusatzklammer {dabei seien
\mathkor {} {r,s \in K} {und} {u,v,w \in V} {} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungacht{$u+v = v + u$,
}{$(u+v)+w = u +(v+w)$,
}{$v+0 = v$,
}{Zu jedem $v$ gibt es ein $z$ mit
\mathl{v+z=0}{,}
}{$r(su) = (rs) u$,
}{$r(u+v) = ru + rv$,
}{$(r+s) u = ru + su$,
}{$1 \cdot u = u$.
}
}{Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
\aufzaehlungdrei{Vertauschung von zwei Zeilen.
}{Multiplikation einer Zeile mit
\mathl{s \neq 0}{.}
}{Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
}
}{Eine Transposition auf $M$ ist eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $M$, die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
}{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Haupt}_{ \lambda } (\varphi)
}
{ =} { \bigcup_{n \in \N} \operatorname{kern} { \left( \varphi - \lambda
\operatorname{Id} \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
Hauptraum
zu $\varphi$ zum Eigenwert $\lambda$.
}{Unter einer
Jordanmatrix
\zusatzklammer {zum Eigenwert $\lambda$} {} {}
versteht man eine quadratische Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & \lambda & 1 & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda & 1\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \lambda
\end{pmatrix}} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Basisaustauschlemma} {.}}{Der \stichwort {Determinantenmultiplikationssatz} {.}}{Der Satz über die \stichwort {Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen} {} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Es sei
\mathl{w \in V}{} ein Vektor mit einer Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{s_k \neq 0}{} sei für ein bestimmtes $k$. Dann ist auch die Familie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{k-1} , w, v_{k+1} , \ldots , v_n} { }
eine Basis von $V$.}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Dann gilt für Matrizen
\mathl{A,B \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det A \cdot \det B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Folgende Aussagen sind äquivalent.
\aufzaehlungvier{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}
}{Es gibt eine
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_\varphi}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.}
}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+4)}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} eine Abbildung.
a) Zeige, dass es eine Menge $N$ gibt und eine surjektive Abbildung
\maabbdisp {F} {L} {N
} {}
und eine injektive Abbildung
\maabbdisp {G} {N} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} {G \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige, dass es eine Menge $P$ gibt und eine injektive Abbildung
\maabbdisp {H} {L} {P
} {}
und eine surjektive Abbildung
\maabbdisp {I} {P} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { I \circ H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
a) Es sei
\mathl{N= \varphi(L)}{} das Bild von $L$ unter der Abbildung $\varphi$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} {\varphi(L)
}
{ \subseteq} {M
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $N$ eine Teilmenge von $M$. Die Abbildung, die ein Element
\mathl{y \in N}{} auf sich selbst aber als Element in $M$ auffasst, nennen wir $G$. Diese Abbildung ist injektiv. Die Abbildung
\maabbeledisp {F} { L} {N
} {x} { \varphi(x)
} {,}
ist wohldefiniert, da $\varphi(x)$ zu $N$ gehört, und surjektiv, da $N$ genau aus den Elementen besteht, die im Bild liegen. Dabei ist offenbar
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { G \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {L \times M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {H} {L} {P = L \times M
} {x} { (x, \varphi(x))
} {.}
Diese ist injektiv, da aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq} {x'
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
folgt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x, \varphi(x))
}
{ \neq} {(x', \varphi(x'))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Die Abbildung $I$ sei durch
\maabbeledisp {I} {L \times M} { M
} {(u,v)} {v
} {,}
gegeben. Diese ist surjektiv unter der Bedingung, dass $L$ nicht leer ist. Insgesamt ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (I \circ H)(x)
}
{ =} { I( x, \varphi(x) )
}
{ =} { \varphi(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { I \circ H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Falls $L$ leer ist, so ist $\varphi$ die sogenannte leere Abbildung und man kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{\varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{
\operatorname{Id}_{ M }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nehmen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?
}
{
Es gibt insgesamt $5$ Fladenbrote, sodass also jede Person ${ \frac{ 5 }{ 3 } }$ Brote isst. Somit gibt $A$ genau ${ \frac{ 1 }{ 3 } }$ Brot an $C$ ab und $B$ gibt ${ \frac{ 4 }{ 3 } }$ Brote an $C$ ab. $B$ gibt also $4$-mal soviel ab wie $A$ und bekommt daher $4$ Taler, und $A$ bekommt einen Taler von $C$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{8}
{
Beweise das Basisaustauschlemma.
}
{
\teilbeweis {Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Zunächst kann man wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_k
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Vektor $v_k$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_k
}
{ =} { \frac{1}{ s_k} w - \sum_{i = 1}^{k-1} \frac{ s_i}{ s_k} v_i - \sum_{i = k+1}^{n} \frac{ s_i}{ s_k} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ u
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n t_i v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{k-1} t_i v_i + t_k v_k + \sum_{i = k+1}^n t_i v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{k-1} t_i v_i + t_k { \left( \frac{1}{ s_k}w - \sum_{i = 1}^{k-1} \frac{ s_i}{ s_k} v_i - \sum_{i = k+1}^{n} \frac{ s_i}{ s_k} v_i \right) } + \sum_{i = k+1}^n t_i v_i
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{k-1} { \left( t_i - t_k \frac{ s_i}{ s_k} \right) } v_i + \frac{ t_k }{ s_k}w + \sum_{i = k+1}^n { \left( t_i - t_k \frac{ s_i}{ s_k} \right) } v_i
}
}
{}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Nachweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t_1w + \sum_{i = 2}^n t_iv_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Darstellung der Null. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { t_1 w + \sum_{i = 2}^n t_iv_i
}
{ =} { t_1 { \left( \sum_{i = 1}^n s_i v_i \right) } + \sum_{i = 2}^n t_iv_i
}
{ =} { t_1 s_1v_1 + \sum_{i = 2}^n { \left( t_1 s_i+ t_i \right) } v_i
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1 s_1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Deshalb ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 2}^n t_iv_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und daher gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ 7 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\6\\ 9 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 3 & -3 & 6 \\7 & 4 & 9 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist
\matabellezweisechs {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 3 & -3 & 6 \\7 & 4 & 9 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & - { \frac{ 9 }{ 2 } } & - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } & - { \frac{ 17 }{ 2 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ - { \frac{ 3 }{ 2 } } & 1 & 0 \\- { \frac{ 7 }{ 2 } } & 0 & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 0 & - { \frac{ 9 }{ 2 } } & - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\0 & 0 & - { \frac{ 26 }{ 3 } } \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ - { \frac{ 3 }{ 2 } } & 1 & 0 \\- { \frac{ 11 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 9 } } & 1 \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 1 }{ 2 } } & { \frac{ 5 }{ 2 } } \\ 0 & 1 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 2 } } & 0 & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } & - { \frac{ 2 }{ 9 } } & 0 \\ { \frac{ 11 }{ 26 } } & - { \frac{ 1 }{ 78 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & { \frac{ 7 }{ 3 } } \\ 0 & 1 & { \frac{ 1 }{ 3 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } & { \frac{ 1 }{ 9 } } & 0 \\ { \frac{ 1 }{ 3 } } & - { \frac{ 2 }{ 9 } } & 0 \\ { \frac{ 11 }{ 26 } } & - { \frac{ 1 }{ 78 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \end{pmatrix}
} }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 26 } } & { \frac{ 11 }{ 78 } } & { \frac{ 7 }{ 26 } } \\ { \frac{ 5 }{ 26 } } & - { \frac{ 17 }{ 78 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\ { \frac{ 11 }{ 26 } } & - { \frac{ 1 }{ 78 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \end{pmatrix}
} }
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 26 } } & { \frac{ 11 }{ 78 } } & { \frac{ 7 }{ 26 } } \\ { \frac{ 5 }{ 26 } } & - { \frac{ 17 }{ 78 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\ { \frac{ 11 }{ 26 } } & - { \frac{ 1 }{ 78 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+4)}
{
Es sei
\mathl{K}{} ein Körper,
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
a) Zeige, dass der Kern von $\varphi$ ein Untervektorraum von $V$ ist.
b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
}
{
a) Bei einer linearen Abbildung ist
\mathl{\varphi(0)=0}{,} also ist
\mathl{0 \in \operatorname{kern} \varphi}{.} Es seien
\mathl{u,v \in \operatorname{kern} \varphi}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(u+v)
}
{ = }{ \varphi(u) + \varphi(v)
}
{ = }{ 0+0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
}
{}{}{,} also
\mathl{u+v \in \operatorname{kern} \varphi}{.} Für
\mathl{v \in \operatorname{kern} \varphi}{} und
\mathl{a \in K}{} ist schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(av)
}
{ =} { a \varphi(v)
}
{ =} { a 0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{av \in \operatorname{kern} \varphi}{.} Damit ist der Kern ein Untervektorraum von $V$.
b) \teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen weiteren Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ \{ 0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$. Zeige, dass die natürliche Abbildung \maabbeledisp {} {V \times { V }^{ * }} {K } {(v,f)} { f(v) } {,} nicht \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei
\maabbdisp {g} {\R} {\R
} {}
die Identität. Dann wird unter der Auswertungsabbildung
\maabbeledisp {} {V \times V^*} { \R
} {(v,f)} {f(v)
} {,}
das Paar
\mathl{(1,g)}{} auf $1$ abgebildet. Das Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 (1,g)
}
{ = }{ (2,2g)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2g) (2)
}
{ =} {4
}
{ \neq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet, daher ist die Abbildung nicht linear.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $M$ eine quadratische Matrix, die man als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit quadratischen Matrizen
\mathkor {} {A,B,C} {und} {D} {}
schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen nicht gilt.
}
{
Wir betrachten die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}} { }
mit den $2 \times 2$-Untermatrizen
\mathl{A,B,C,D}{} wie in der Aufgabenstellung. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \det A \cdot \det D - \det B \cdot \det C
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} {1 \cdot 1- 1 \cdot 1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Um die wahre Determinante auszurechnen, führen wir Zeilenoperationen durch. Wir ersetzen die dritte Zeile durch
\mathl{III-I}{} und die vierte Zeile durch
\mathl{IV-II}{} und erhalten
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
Wir addieren zur vierten Zeile die dritte Zeile hinzu und erhalten die obere Dreiecksmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { , }
bei der alle Diagonaleinträge von $0$ verschieden sind. Daher ist diese Matrix und damit auch die Ausgangsmatrix
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
und die Determinante ist nach
Fakt *****
nicht $0$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{
Wenn $P$ ein Vielfaches von
\mathl{X-a}{} ist, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(X-a)Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { (a-a) Q(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Allgemeinen gibt es
aufgrund der Division mit Rest
eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (X-a)Q +R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so muss der Rest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, und das bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (X-a)Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2+7X-4} { }
die Variable $X$ durch die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}} { }
ersetzt.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 35 & 14 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 35 & 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 119 & 42 \\ 210 & 77 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 2X^3-5X^2+7X-4
}
{ =} { 2 \begin{pmatrix} 119 & 42 \\ 210 & 77 \end{pmatrix} -5 \begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 35 & 14 \end{pmatrix} +7 \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} -4 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 238 - 105 +28 -4 & 84-35+7 \\ 420 -175 +35 & 154 -70 +21 -4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 157 & 56 \\ 280 & 101 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+3+1)}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{
a) Das charakteristische Polynom ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ A }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} x-2 & -1 & 2- { \mathrm i} \\ 0 & x- { \mathrm i} & -1- { \mathrm i} \\0 & 0 & x+1-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ =} { (x-2)(x- { \mathrm i} )(x+1-2 { \mathrm i} )
}
{ =} { x^3 -(1+3 { \mathrm i} ) x^2 + (2 { \mathrm i} -2(1-2 { \mathrm i} )- { \mathrm i} (1-2 { \mathrm i} ) ) x+ 2 { \mathrm i} (1-2 { \mathrm i} )
}
{ =} { x^3 -(1+3 { \mathrm i} ) x^2 + (-4+5 { \mathrm i} ) x+ 4+2 { \mathrm i}
}
}
{}
{}{}
und die Eigenwerte von $A$ sind $2, { \mathrm i} ,-1+2 { \mathrm i}$.
b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.
\mathl{x=2}{:}
Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & -1 & 2- { \mathrm i} \\ 0 & 2- { \mathrm i} & -1- { \mathrm i} \\0 & 0 & 3-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
bestimmen. Da gehört
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}}{} dazu.
\mathl{x= { \mathrm i}}{:}
Dies führt auf
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2+ { \mathrm i} & -1 & 2- { \mathrm i} \\ 0 & 0 & -1- { \mathrm i} \\0 & 0 & 1- { \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { . }
Wir wählen
\mathl{c=0}{} und
\mathl{a=1}{} und erhalten
\mathl{b=-2+ { \mathrm i}}{,} also ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\-2+ { \mathrm i} \\ 0 \end{pmatrix}} { }
ein Eigenvektor zum Eigenwert ${ \mathrm i}$.
\mathl{x=-1+2 { \mathrm i}}{:}
Dies führt auf
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3+2 { \mathrm i} & -1 & 2- { \mathrm i} \\ 0 & -1+ { \mathrm i} & -1-{ \mathrm i} \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { . }
Mit
\mathl{c= -1+ { \mathrm i}}{} und
\mathl{b=1+ { \mathrm i}}{} ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu
\mathdisp {(-3+2 { \mathrm i} )a -1- { \mathrm i} +(2- { \mathrm i} )(-1+ { \mathrm i} ) = 0} { }
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(-3+2 { \mathrm i} )a
}
{ =} { 1+ { \mathrm i} -(2- { \mathrm i} )(-1+ { \mathrm i} )
}
{ =} { 1+ { \mathrm i} -2 { \mathrm i} +2-1- { \mathrm i}
}
{ =} { 2-2 { \mathrm i}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { (2-2 { \mathrm i} ) (-3+2 { \mathrm i} )^{-1}
}
{ =} { (2-2 { \mathrm i} ) { \frac{ -3-2 { \mathrm i} }{ 13 } }
}
{ =} { { \frac{ -10+2 { \mathrm i} }{ 13 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ -10+2 { \mathrm i} }{ 13 } } \\1+ { \mathrm i} \\ -1+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1+2 { \mathrm i}$.
c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & { \mathrm i} & 0 \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \text{ es gibt ein } n \in \N \text{ mit } \varphi^n(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Teilmenge von $V$ ein
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{}
ist.
}
{
Es ist
\mathl{0 \in U}{.} Wenn
\mathl{v \in U}{} ist, sagen wir
\mathl{\varphi^n(v)=0}{,} so ist natürlich auch
\mathl{\varphi^n(sv)=0}{,} also
\mathl{sv \in U}{} für jeden Skalar
\mathl{s \in K}{.} Es seien
\mathl{u, v \in U}{} mit
\mathl{\varphi^m(u)=0}{} und
\mathl{\varphi^n(v)=0}{.} Es sei
\mathl{m \geq n}{.} Dann ist auch
\mathl{\varphi^m(v)=0}{} und daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^m(u+v)
}
{ = }{\varphi^m(u)+ \varphi^m(v)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{u+v \in U}{.} Es liegt also ein Untervektorraum vor.
Zum Beweis der Invarianz sei
\mathl{v \in U}{} mit
\mathl{\varphi^n(v)=0}{.} Dann wird
\mathl{\varphi(u)}{} von
\mathl{\varphi^{n-1}}{} annulliert, gehört also ebenfalls zu $U$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für zwei \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {K^2} {K^2 } {} derart, dass weder \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {noch} {\varphi + \psi} {} nilpotent sind.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind beide Matrizen nilpotent. Dagegen ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht nilpotent und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi + \psi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist bijektiv, also auch nicht nilpotent.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme zur reellen Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 3 & 5 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{.}
\zusatzklammer {Es muss keine Basis angegeben werden, bezü\-glich der jordansche Normalform vorliegt.} {} {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 5 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} -3 E_4
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 6 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Element $e_1$ gehört zum Kern. Die
\mathl{3 \times 3}{-}Untermatrix rechts oben hat eine Determinante $\neq 0$ und somit hat die Matrix $N$ den Rang $3$ und der Kern ist eindimensional. In diesem Fall wachsen die Kerne zu $M^{i}$ jeweils um eine Dimension und daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
die jordansche Normalform von $M$.
}