Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 6 3 8 5 6 3 5 4 2 6 3 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Bild einer Abbildung
  2. Ein Vektorraum über einem Körper .
  3. Elementare Zeilenumformungen an einer -Matrix über einem Körper .
  4. Eine Transposition auf einer endlichen Menge .
  5. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung auf einem -Vektorraum und einem Eigenwert .
  6. Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert .


Lösung

  1. Das Bild von ist die Menge
  2. Unter einem Vektorraum über versteht man eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen

    und

    derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig):

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. Zu jedem gibt es ein mit ,
    5. ,
    6. ,
    7. ,
    8. .
  3. Unter den elementaren Zeilenumformungen versteht man die Manipulationen:
    1. Vertauschung von zwei Zeilen.
    2. Multiplikation einer Zeile mit .
    3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
  4. Eine Transposition auf ist eine Permutation auf , die genau zwei Elemente miteinander vertauscht und alle anderen Elemente unverändert lässt.
  5. Man nennt

    den Hauptraum zu zum Eigenwert .

  6. Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert ) versteht man eine quadratische Matrix der Form


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Basisaustauschlemma.
  2. Der Determinantenmultiplikationssatz.
  3. Der Satz über die Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum mit einer Basis . Es sei ein Vektor mit einer Darstellung

    wobei sei für ein bestimmtes . Dann ist auch die Familie

    eine Basis von .
  2. Es sei ein Körper und . Dann gilt für Matrizen die Beziehung
  3. Folgende Aussagen sind äquivalent.
    1. ist trigonalisierbar.
    2. Es gibt eine -invariante Fahne.
    3. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren.
    4. Das Minimalpolynom zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Es sei

eine Abbildung.

a) Zeige, dass es eine Menge gibt und eine surjektive Abbildung

und eine injektive Abbildung

mit

b) Zeige, dass es eine Menge gibt und eine injektive Abbildung

und eine surjektive Abbildung

mit


Lösung

a) Es sei das Bild von unter der Abbildung . Wegen

ist eine Teilmenge von . Die Abbildung, die ein Element auf sich selbst aber als Element in auffasst, nennen wir . Diese Abbildung ist injektiv. Die Abbildung

ist wohldefiniert, da zu gehört, und surjektiv, da genau aus den Elementen besteht, die im Bild liegen. Dabei ist offenbar

b) Es sei

Wir betrachten die Abbildung

Diese ist injektiv, da aus

folgt, dass

ist. Die Abbildung sei durch

gegeben. Diese ist surjektiv unter der Bedingung, dass nicht leer ist. Insgesamt ist

und somit

Falls leer ist, so ist die sogenannte leere Abbildung und man kann , und nehmen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zwei Personen, und , liegen unter einer Palme, besitzt Fladenbrote und besitzt Fladenbrote. Eine dritte Person kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt an und an ?


Lösung

Es gibt insgesamt Fladenbrote, so dass also jede Person Brote isst. Somit gibt genau Brot an ab und gibt Brote an ab. gibt also -mal soviel ab wie und bekommt daher Taler, und bekommt einen Taler von .


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise das Basisaustauschlemma.


Lösung

Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen

und den Vektor als

schreiben. Sei nun beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben


Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung an. Es sei

eine Darstellung der Null. Dann ist
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere , und wegen ergibt sich . Deshalb ist und daher gilt für alle .


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Lösung

Es ist

Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist

Es ist also


Aufgabe (6 (2+4) Punkte)

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

a) Zeige, dass der Kern von ein Untervektorraum von ist.

b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Lösung

a) Bei einer linearen Abbildung ist , also ist . Seien . Dann ist , also . Für und ist schließlich

also . Damit ist der Kern ein Untervektorraum von .

b) Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen weiteren Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum mit Dualraum . Zeige, dass die natürliche Abbildung

nicht linear ist.


Lösung

Es sei und es sei

die Identität. Dann wird unter der Auswertungsabbildung

das Paar auf abgebildet. Das Paar wird auf

abgebildet, daher ist die Abbildung nicht linear.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

im Allgemeinen nicht gilt.


Lösung

Wir betrachten die Matrix

mit den -Untermatrizen wie in der Aufgabenstellung. Dann ist

Um die wahre Determinante auszurechnen, führen wir Zeilenoperationen durch. Wir ersetzen die dritte Zeile durch und die vierte Zeile durch und erhalten

Wir addieren zur vierten Zeile die dritte Zeile hinzu und erhalten die obere Dreiecksmatrix

bei der alle Diagonaleinträge von verschieden sind. Daher ist diese Matrix und damit auch die Ausgangsmatrix invertierbar und die Determinante ist nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) nicht .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Lösung

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Lösung

Es ist

und

Daher ist


Aufgabe (6 (2+3+1) Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.


Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

und die Eigenwerte von sind .

b) Wir bestimmen für jeden Eigenwert einen Eigenvektor.

:

Wir müssen ein nichttriviales Element im Kern von

bestimmen. Da gehört dazu.

:

Dies führt auf

Wir wählen und und erhalten , also ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

:

Dies führt auf

Mit und ist die mittlere Zeile erfüllt. Die erste Zeile wird dann zu

und daher ist

Daher ist

Somit ist

ein Eigenvektor zum Eigenwert .

c) Bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren besitzt die beschreibende Matrix die Gestalt


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein -invarianter Unterraum

ist.


Lösung

Es ist . Wenn ist, sagen wir , so ist natürlich auch , also für jeden Skalar . Seien mit und . Sei . Dann ist auch und daher ist auch , also . Es liegt also ein Untervektorraum vor.

Zum Beweis der Invarianz sei mit . Dann wird von annulliert, gehört also ebenfalls zu .


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für zwei nilpotente lineare Abbildungen

derart, dass weder noch nilpotent sind.


Lösung

Es sei

und

Wegen

und

sind beide Matrizen nilpotent. Dagegen ist

wegen

nicht nilpotent und

ist bijektiv, also auch nicht nilpotent.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme zur reellen Matrix

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)


Lösung

Es ist

Das Element gehört zum Kern. Die -Untermatrix rechts oben hat eine Determinante und somit hat die Matrix den Rang und der Kern ist eindimensional. In diesem Fall wachsen die Kerne zu jeweils um eine Dimension und daher ist

die jordansche Normalform von .