Kurs:Lineare Algebra/Teil I/20/Klausur/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 1 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 4 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 6 }

\renewcommand{\aneun}{ 8 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Durchschnitt} {} zu einer Mengenfamilie
\mathbed {M_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} in einer Grundmenge $G$.

}{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}

}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$.

}{Der \stichwort {Eigenraum} {} zu $\lambda \in K$ und einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Eine \stichwort {nilpotente} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Ein \stichwort {affines Erzeugendensystem} {} eines \definitionsverweis {affinen Unterraumes}{}{} $F$ in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Basisergänzungssatz} {.}}{Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen}{Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Negiere die Aussage \anfuehrung{Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß}{} durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}


\mathdisp {\begin{matrix} A & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & B & \\ \!\!\!\!\! g \downarrow & & \downarrow h \!\!\!\!\! & \\ L & \stackrel{ \psi }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h \circ \varphi }
{ =} { \psi \circ g }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es seien \mathkor {} {g} {und} {h} {} \definitionsverweis {bijektiv}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, wenn $\psi$ injektiv ist. } {Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, wenn $\psi$ surjektiv ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Löse das \definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} - x & +2 y & + z & +3 w & = & -1 \\ x & +3 y & -2 z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \\ 3 x & -5 y & + z & \, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 2 x & + y & \, \, \, \, - z & +3 w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es seien $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ = }{ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Das Produkt
\mathl{A \cdot B}{} ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel \anfuehrung{Zeile x Spalte}{,} bei der man insgesamt $8$ Multiplikationen im Körper $K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur $7$ Multiplikationen \zusatzklammer {aber mit mehr Additionen} {} {} durchführen kann. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_1 }
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{22} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_2 }
{ =} { { \left( a_{2 1} + a_{22} \right) } \cdot b_{11} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_3 }
{ =} { a_{1 1} \cdot { \left( b_{12} - b_{22} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_4 }
{ =} { a_{22} \cdot { \left( b_{21} - b_{11} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_5 }
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{12} \right) } \cdot b_{22} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_6 }
{ =} { { \left( a_{2 1} - a_{11} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{12} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m_7 }
{ =} { { \left( a_{1 2} - a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{21} + b_{22} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{AB }
{ =} {C }
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{11} }
{ =} { m_{1} + m_{4} - m_{5} + m_{7} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{12} }
{ =} { m_{3} + m_{5} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}


\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{21} }
{ =} { m_{2} + m_{4} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{22} }
{ =} { m_{1} - m_{2} + m_{3} + m_{6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} gelten.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$, eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung \maabbeledisp {} {K \times V} {V } { (s,v)} { s v } {,} derart, dass diese Struktur alle \definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{} außer
\mathdisp {(5) \,\, \, 1u = u} { }
erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6}
{

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins \zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {} als eine Familie von $9$ Tupeln der Länge $9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix}

 1 &  2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 
2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\
3 & 6 & 9 & 2 & 5 & 8 & 1 & 4 & 7 \\
4 & 8 & 2 & 6 & 0 & 4 & 8 & 2 & 6 \\
5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 \\ 
6 & 2 & 8 & 4 & 0 & 6 & 2 & 8 & 4  \\ 
7 & 4 & 1 & 8 & 5 & 2 & 9 & 6 & 3 \\
8 & 6 & 4 & 2 & 0 & 8 & 6 & 4 & 2 \\
9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &  1 

\end{pmatrix}} { . }
Welche \definitionsverweis {Dimension}{}{} besitzt der durch diese Tupel \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{} des $\R^9$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{8}
{

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Finde \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subseteq }{\R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung }{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R^3 } {t} { (t,t^2,t^3) = (x,y,z) } {.} Skizziere die Bilder von $C$ unter den \definitionsverweis {Projektionen}{}{} auf die verschiedenen Koordinatenebenen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+2+1)}
{

Wir betrachten die durch die Wertetabelle \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(x)$ }
{\mazeileundfuenf {3} {5} {1} {7} {8} }
{\mazeileunddrei {2} {6} {4} } gegebene Abbildung $F$ von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M }
{ =} { \{1,2 , \ldots , 8\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in sich selbst. \aufzaehlungfuenf{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^2 }
{ = }{ F \circ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^3 }
{ = }{ F \circ F \circ F }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen $F^n$ \definitionsverweis {bijektiv}{}{} sind. }{Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }{Bestimme das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {7X^{11}-3X^8+ { \frac{ 3 }{ 2 } } X^6 -X +5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^5$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn $M$ einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G }
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}

}
{} {}