Kurs:Lineare Algebra/Teil I/20/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 6 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der
\stichwort {Durchschnitt} {}
zu einer Mengenfamilie
\mathbed {M_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einer Grundmenge $G$.
}{Die \stichwort {Umkehrabbildung} {} zu einer bijektiven Abbildung \maabb {F} {L} {M} {.}
}{Die \stichwort {Determinante} {} einer $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$.
}{Der \stichwort {Eigenraum} {} zu $\lambda \in K$ und einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {nilpotente} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein \stichwort {affines Erzeugendensystem} {} eines \definitionsverweis {affinen Unterraumes}{}{} $F$ in einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Basisergänzungssatz} {.}}{Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen}{Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Negiere die Aussage \anfuehrung{Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß}{} durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
Wir betrachten das \definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} A & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & B & \\ \!\!\!\!\! g \downarrow & & \downarrow h \!\!\!\!\! & \\ L & \stackrel{ \psi }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h \circ \varphi
}
{ =} { \psi \circ g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathkor {} {g} {und} {h} {}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, wenn $\psi$ injektiv ist.
} {Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, wenn $\psi$ surjektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} - x &
+2 y &
+ z &
+3 w & = & -1 \\ x &
+3 y &
-2 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \\ 3 x &
-5 y &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ 2 x &
+ y &
\, \, \, \, - z &
+3 w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Das Produkt
\mathl{A \cdot B}{} ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel \anfuehrung{Zeile x Spalte}{,} bei der man insgesamt $8$ Multiplikationen im Körper $K$ ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur $7$ Multiplikationen
\zusatzklammer {aber mit mehr Additionen} {} {}
durchführen kann. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_1
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_2
}
{ =} { { \left( a_{2 1} + a_{22} \right) } \cdot b_{11}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_3
}
{ =} { a_{1 1} \cdot { \left( b_{12} - b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_4
}
{ =} { a_{22} \cdot { \left( b_{21} - b_{11} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_5
}
{ =} { { \left( a_{1 1} + a_{12} \right) } \cdot b_{22}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m_6
}
{ =} { { \left( a_{2 1} - a_{11} \right) } \cdot { \left( b_{11} + b_{12} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m_7
}
{ =} { { \left( a_{1 2} - a_{22} \right) } \cdot { \left( b_{21} + b_{22} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{AB
}
{ =} {C
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{11}
}
{ =} { m_{1} + m_{4} - m_{5} + m_{7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{12}
}
{ =} { m_{3} + m_{5}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{21}
}
{ =} { m_{2} + m_{4}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{22}
}
{ =} { m_{1} - m_{2} + m_{3} + m_{6}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(5) \,\, \, 1u = u} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins
\zusatzklammer {ohne die Zehnerreihe} {} {}
als eine Familie von $9$ Tupeln der Länge $9$, also die Zeilenvektoren in der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 2 & 5 & 8 & 1 & 4 & 7 \\ 4 & 8 & 2 & 6 & 0 & 4 & 8 & 2 & 6 \\ 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 5 \\ 6 & 2 & 8 & 4 & 0 & 6 & 2 & 8 & 4 \\ 7 & 4 & 1 & 8 & 5 & 2 & 9 & 6 & 3 \\ 8 & 6 & 4 & 2 & 0 & 8 & 6 & 4 & 2 \\ 9 & 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{pmatrix}} { . }
Welche
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
besitzt der durch diese Tupel
\definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{}
des $\R^9$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{\R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der
\definitionsverweis {Abbildung
}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R^3
} {t} { (t,t^2,t^3) = (x,y,z)
} {.}
Skizziere die Bilder von $C$ unter den
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
auf die verschiedenen Koordinatenebenen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Determinantenmultiplikationssatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+2+1)}
{
Wir betrachten die durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $F(x)$ }
{\mazeileundfuenf {3} {5} {1} {7} {8} }
{\mazeileunddrei {2} {6} {4} }
gegebene Abbildung $F$ von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \{1,2 , \ldots , 8\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in sich selbst.
\aufzaehlungfuenf{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^2
}
{ = }{ F \circ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Erstelle eine Wertetabelle für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F^3
}
{ = }{ F \circ F \circ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen $F^n$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
sind.
}{Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}{Bestimme das minimale
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F^n (x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {7X^{11}-3X^8+ { \frac{ 3 }{ 2 } } X^6 -X +5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^5$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, wenn $M$ einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}
}
{} {}