Kurs:Lineare Algebra/Teil I/20/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 4 4 4 2 6 8 4 3 7 6 2 2 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Durchschnitt zu einer Mengenfamilie , , in einer Grundmenge .
  2. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  3. Die Determinante einer -Matrix .
  4. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  5. Eine nilpotente lineare Abbildung

    auf dem -Vektorraum .

  6. Ein affines Erzeugendensystem eines affinen Unterraumes in einem affinen Raum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Basisergänzungssatz.
  2. Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen
  3. Der Satz von der kanonischen additiven Zerlegung für eine trigonalisierbare Abbildung.


Aufgabe * (1 Punkt)

Negiere die Aussage „Martina findet alle Jungs im Kurs außer Markus zuckersüß“ durch eine Aussage, in der eine Existenzaussage und eine Oder-Verknüpfung vorkommen.


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das kommutative Diagramm

von Mengen und Abbildungen, d.h. es gilt

Es seien und bijektiv.

  1. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn injektiv ist.
  2. Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn surjektiv ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien -Matrizen und gegeben. Das Produkt ergibt sich mit der üblichen Multiplikationsregel „Zeile x Spalte“, bei der man insgesamt Multiplikationen im Körper ausführen muss. Wir beschreiben, wie man diese Matrixmultiplikation mit nur Multiplikationen (aber mit mehr Additionen) durchführen kann. Wir setzen

Zeige, dass für die Koeffizienten der Produktmatrix

die Gleichungen

gelten.


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

erfüllt.


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten die letzte Ziffer im kleinen Einmaleins (ohne die Zehnerreihe) als eine Familie von Tupeln der Länge , also die Zeilenvektoren in der Matrix

Welche Dimension besitzt der durch diese Tupel aufgespannte Untervektorraum des ?


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

Finde Elementarmatrizen derart, dass die Einheitsmatrix ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei das Bild der Abbildung

Skizziere die Bilder von unter den Projektionen auf die verschiedenen Koordinatenebenen.


Aufgabe * (7 Punkte)


Aufgabe * (6 (1+1+1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Abbildung von in sich selbst.

  1. Erstelle eine Wertetabelle für .
  2. Erstelle eine Wertetabelle für .
  3. Begründe, dass sämtliche iterierten Hintereinanderschaltungen bijektiv sind.
  4. Bestimme für jedes das minimale mit der Eigenschaft, dass

    ist.

  5. Bestimme das minimale mit der Eigenschaft, dass

    für alle ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme für das Polynom

den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu .


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine -Matrix über einem Körper . Zeige, dass genau dann trigonalisierbar ist, wenn einen Eigenvektor besitzt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die drei Ebenen im , die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.

Bestimme sämtliche Punkte .