Kurs:Lineare Algebra/Teil I/21/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 7 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 1 }
\renewcommand{\aneun}{ 8 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Die
\stichwort {Vereinigung} {}
zu einer Mengenfamilie
\mathbed {M_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
in einer Grundmenge $G$.
}{Die \stichwort {Fakultät} {} einer natürlichen Zahl $n$.
}{Ein \stichwort {Untervektorraum} {}
\mathl{U \subseteq V}{} in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {Spur} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {Fahne} {} in einem $n$-\definitionsverweis {dimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Die
\stichwort {baryzentrischen Koordinaten} {}
zu einem Punkt
\mathl{P \in E}{} in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$ über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ bezüglich einer
\definitionsverweis {affinen Basis}{}{}
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der
\stichwort {Charakterisierungssatz} {}
für eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.}{Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.}{Der Satz über die
\stichwort {Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen} {}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+1+1)}
{
Der
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$\R^2$ sei zusätzlich mit der komponentenweisen Multiplikation versehen. Bestimme, welche der folgenden Teilmengen unter dieser Multiplikation abgeschlossen sind.
\aufzaehlungfuenf{Die Punktmenge
\mathl{\{ \left( 0 , \, 0 \right), \left( 0 , \, 1 \right), \left( 1 , \, 0 \right) , \left( 1 , \, 1 \right) \}}{.}
}{Die Gerade
\mathdisp {{ \left\{ \left( x , \, y \right) \mid y = 3x \right\} }} { . }
}{Das Achsenkreuz
\mathdisp {{ \left\{ \left( x , \, y \right) \mid x = 0 \text{ oder } y = 0 \right\} }} { . }
}{Die Hyperbel
\mathdisp {{ \left\{ \left( x , \, y \right) \mid xy = 1 \right\} }} { . }
}{Die Parabel
\mathdisp {{ \left\{ \left( x , \, y \right) \mid y = x^2 \right\} }} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (5+2)}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit dem
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$r$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
} {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ < }{r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es nicht möglich ist,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{B \circ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer
\mathl{s \times n}{-}Matrix $A$ und einer
\mathl{m \times s}{-}Matrix $B$ zu schreiben.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über $K$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} die \definitionsverweis {surjektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, abhängig von
\mathl{a,b,c,d}{,} den
\definitionsverweis {Rang}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 4b & a-c & d \\ 0 & b & b^2 & b^3 \\ 0 & 0 & c^2 & a^2 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (3+3+2)}
{
\aufzaehlungdrei{Beweise den Determinantenmultiplikationssatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det \left( A \right) \det \left( B \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den Fall, dass $A$ eine Elementarmatrix ist.
}{Beweise den Determinantenmultiplikationssatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det \left( A \right) \det \left( B \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den Fall, dass $A$ ein Produkt aus Elementarmatrizen ist.
}{Beweise den Determinantenmultiplikationssatz mit Hilfe von (2).
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{K[X]}{} über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ die
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
Elemente, also Polynome $P$, für die es ein weiteres Polynom $Q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{PQ
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 + p x +q
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine quadratische Gleichung über einem Körper $K$, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung davon. Zeige, dass auch
\mathl{{ \frac{ q }{ r } }}{} eine Lösung der Gleichung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $71894$ und $45327$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der gleichen
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset \ldots \subset} {V_{n-1}
}
{ \subset} {V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {W_0
}
{ \subset} {W_1
}
{ \subset \ldots \subset} {W_{n-1}
}
{ \subset} {W_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {W
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
\definitionsverweis {Fahnen}{}{}
in
\mathkor {} {V} {bzw.} {W} {.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(V_i)
}
{ =} { W_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{0,1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme, ob die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 3 & 21 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, ob die beiden Matrizen
\mathdisp {M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ und } N= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
zueinander
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
}
{} {}