Kurs:Lineare Algebra/Teil I/24/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}
}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Der
\stichwort {Orthogonalraum} {}
zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Das \stichwort {Bidual} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Der \stichwort {Fixraum} {} zu einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.}{Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen.}{Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \cap C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Ein Apfelverkäufer verkauft
\mathl{2893}{} Äpfel für $3127$ Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft $3417$ Äpfel für
\mathl{3693}{} Euro. Welches Angebot ist günstiger?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( b_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
quadratische Matrizen der Länge $n$. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{i+d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{i+e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für gewisse
\mathl{d,e \in \Z}{.} Zeige, dass die Einträge
\mathl{c_{ij}}{} des Produktes
\mathl{AB}{} die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_{ij}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{ i+d+e+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 3 \\ -2 & 7 & -6 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 13 & 1 & -1 & -8 & 6 \\ 3 & -2 & 8 & 1 & 4 \\ 5 & 9 & 7 & 3 & 5 \\ 6 & -4 & 16 & 2 & 8 \\ 7 & -10 & 11 & 6 & 9 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Berechne für die
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {2} {5} {3} }
{\mazeileunddrei {8} {6} {1} }
die Anzahl der
\definitionsverweis {Fehlstände}{}{}
und das
\definitionsverweis {Vorzeichen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{P,Q \in K[X]}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{$(P + Q)(a)=P(a) +Q(a)$.
}{$(P \cdot Q)(a)=P(a) \cdot Q(a)$.
}{$1(a)=1$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1085$ und $806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{ \lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in $K$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+4)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} T & T-1 \\ T+1 & { \frac{ 1 }{ T } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
\mathl{\R(T)}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $M$.
} {Bestimme, ob $M$ Eigenwerte besitzt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich $c$ seien. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man gebe ein Polynom $P \in \R[X]$ an, das für unendlich viele reelle $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+2+2)}
{
Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & -1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & -1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Finde eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6x+3y-5z+w
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}