Kurs:Lineare Algebra/Teil I/24/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	1	4	4	4	4	1	2	3	3	3	6	3	3	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Graph zu einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper ${}K$.
3. Das Bidual zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Der Fixraum zu einem Endomorphismus

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Eine affin-lineare Abbildung

   $\psi \colon E\longrightarrow F$

   zwischen den affinen Räumen ${}E$ und ${}F$ über den ${}K$- Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
2. Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.
3. Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\cap C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\setminus C\right)}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Ein Apfelverkäufer verkauft ${}2893$ Äpfel für ${}3127$ Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft ${}3417$ Äpfel für ${}3693$ Euro. Welches Angebot ist günstiger?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}A={\left(a_{ij}\right)}$ und ${}B={\left(b_{ij}\right)}$ quadratische Matrizen der Länge ${}n$. Es gelte ${}a_{ij}=0$ für ${}j\leq i+d$ und ${}b_{ij}=0$ für ${}j\leq i+e$ für gewisse ${}d,e\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass die Einträge ${}c_{ij}$ des Produktes ${}AB$ die Bedingung ${}c_{ij}=0$ für ${}j\leq i+d+e+1$ erfüllen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Erläutere, warum das Achsenkreuz im ${}\mathbb {R} ^{2}$ kein Untervektorraum ist

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}4&1&0&5\\2&7&5&3\\-2&7&-6&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&3&1\\4&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix

${\begin{pmatrix}13&1&-1&-8&6\\3&-2&8&1&4\\5&9&7&3&5\\6&-4&16&2&8\\7&-10&11&6&9\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne für die Permutation

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\sigma (x)$	${}4$	${}7$	${}2$	${}5$	${}3$	${}8$	${}6$	${}1$

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ${}P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)\,.$

2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)\,.$

3. ${}1(a)=1\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1085$ und ${}806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und seien ${}\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass

${}\operatorname {Eig} _{\lambda _{1}}{\left(\varphi \right)}\cap \operatorname {Eig} _{\lambda _{2}}{\left(\varphi \right)}=0\,$

ist.

Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}T&T-1\\T+1&{\frac {1}{T}}\end{pmatrix}}\,$

über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {R} (T)$.

1. Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.
2. Bestimme, ob ${}M$ Eigenwerte besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich ${}c$ seien. Zeige, dass ${}M$ genau dann diagonalisierbar ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {R} [X]$ an, das für unendlich viele reelle ${}2\times 2$- Matrizen das Minimalpolynom ist.

Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}7&0&2\\0&7&-1\\0&0&7\end{pmatrix}}\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

a) Bestimme die jordansche Normalform von ${}M$.

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von ${}M$ in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

${}{\begin{pmatrix}7&0&2\\0&7&-1\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

welche nicht?

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}6x+3y-5z+w=2\,.$