Kurs:Lineare Algebra/Teil I/24/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 3 1 4 4 4 4 1 2 3 3 3 6 3 3 6 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Graph zu einer Abbildung .
  2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  3. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

    im Dualraum zu einem -Vektorraum .

  4. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .

  5. Das Bidual zu einem -Vektorraum .
  6. Der Fixraum zu einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.
  2. Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen.
  3. Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Aufgabe * (2 Punkte)

Ein Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Welches Angebot ist günstiger?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und quadratische Matrizen der Länge . Es gelte für und für für gewisse . Zeige, dass die Einträge des Produktes die Bedingung für erfüllen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Erläutere, warum das Achsenkreuz im kein Untervektorraum ist


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.


Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne für die Permutation

die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei . Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien ).

  1. .
  2. .
  3. .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von und und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.


Aufgabe * (6 (2+4) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über dem Körper der rationalen Funktionen .

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme, ob Eigenwerte besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich seien. Zeige, dass genau dann diagonalisierbar ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom an, das für unendlich viele reelle -Matrizen das Minimalpolynom ist.


Aufgabe * (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über .

a) Bestimme die jordansche Normalform von .

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

welche nicht?


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung