Kurs:Lineare Algebra/Teil I/30/Klausur/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 5 }

\renewcommand{\afuenf}{ 6 }

\renewcommand{\asechs}{ 2 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 3 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 7 }

\renewcommand{\aelf}{ 3 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.

}{Die \stichwort {Summe} {} von Untervektorräumen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n \subseteq V}{} in einem Vektorraum $V$.

}{Die \stichwort {Spur} {} zu einer \definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{} $M$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Die \stichwort {duale Abbildung} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}

}{Ein \stichwort {Zykel der Ordnung} {} $r$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}

}{Eine \stichwort {nilpotente} {} $d \times d$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Basiswechsel.}{Der Satz über die Anzahl der Permutationen.}{Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch \anfuehrung{Extremfälle}{} berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+2)}
{

Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{

Wir betrachten Matrizen der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { . }
\aufzaehlungfuenf{Berechne
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f & 0 & g \\ 0 & h & 0 \\i & 0 & j \end{pmatrix}} { . }
}{Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ? }{Bestimme die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{.} }{Man gebe eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\d & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
an, die nicht invertierbar ist. }{Sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { }
invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Beweise den Basisergänzungssatz.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Wir betrachten die Quadratabbildung \maabbeledisp {\varphi} {K} {K } {x} {x^2 } {,} für verschiedene Körper $K$. \aufzaehlungdrei{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} {\Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?} }{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} { \Z/(2) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} dem Körper mit zwei Elementen. }{Es sei nun $K$ ein Körper, in dem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2 }
{ = }{1+1 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist $\varphi$ linear? Ist $\varphi$ verträglich mit der Addition? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\triangle} {V \times V \times V} {K } {} eine \definitionsverweis {multilineare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es seien $u,v,w,z \in V$. Ziehe in
\mathdisp {\triangle \begin{pmatrix} 7u+3v-8w \\4u-6z\\ -2w-2z \end{pmatrix}} { }
Summen und Skalare nach außen.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Löse das \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \\2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe der Cramerschen Regel.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{7 (1+3+3)}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $\pi$ eine \definitionsverweis {Permutation}{}{} auf $I$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (j),j} }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist und alle anderen Einträge $0$ sind.

a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation \wertetabellevierausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundvier {1} {2} {3} {4 } }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundvier {4} {3} {1} {2 } }

b) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \pi} { M_\pi } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.

c) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi }
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} verschiedene \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des \definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass das Polynom $X^2+1$ für unendlich viele reelle $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} und das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{10}
{

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind. \aufzaehlungvier{Die Achsenspiegelung durch die durch
\mathl{4x-7y=5}{} gegebene Achse. }{Die Scherung, die durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} gegeben ist. }{Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum. }{Die Streckung mit dem Faktor ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {affine Gerade}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} -4 \\12\\ 5 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 5 \\-10\\ 2 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als \definitionsverweis {Urbild}{}{} über $(-1,3)$ einer \definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{} \maabb {\psi} {\R^3} {\R^2 } {.}

}
{} {}