Kurs:Lineare Algebra/Teil I/30/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 5 6 2 4 3 2 7 3 4 3 10 3 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Summe von Untervektorräumen in einem Vektorraum .
  3. Die Spur zu einer quadratischen Matrix über einem Körper .
  4. Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung

    zwischen -Vektorräumen und .

  5. Ein Zykel der Ordnung auf .
  6. Eine nilpotente -Matrix über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Basiswechsel.
  2. Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.


Aufgabe * (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Aufgabe * (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten Matrizen der Form

  1. Berechne
  2. Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
  3. Bestimme die Determinante von .
  4. Man gebe eine Matrix der Form

    an, die nicht invertierbar ist.

  5. Sei

    invertierbar. Ist die inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Basisergänzungssatz.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Quadratabbildung

für verschiedene Körper .

  1. Ist linear für
  2. Ist linear für

    dem Körper mit zwei Elementen.

  3. Es sei nun ein Körper, in dem gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist linear? Ist verträglich mit der Addition?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei

eine multilineare Abbildung. Es seien . Ziehe in

Summen und Skalare nach außen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel.


Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind.

a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation

b) Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.

c) Zeige, dass

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom für unendlich viele reelle -Matrizen das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom ist.


Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.

  1. Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
  2. Die Scherung, die durch die Matrix gegeben ist.
  3. Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
  4. Die Streckung mit dem Faktor .


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .