Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 6 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 5 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 8 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}
}{Ein \stichwort {kommutativer} {} \definitionsverweis {Ring}{}{} $R$.
}{Der
\stichwort {Orthogonalraum} {}
zu einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq} { { V }^{ * }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im
\definitionsverweis {Dualraum}{}{}
\mathl{{ V }^{ * }}{} zu einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine
\stichwort {multilineare} {}
Abbildung
\maabbdisp {\Phi} {V_1 \times \cdots \times V_n} {W
} {,}
wobei
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ sind.
}{Das \stichwort {Minimalpolynom} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.}{Der Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.}{Der Satz über die Summe von Haupträumen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens $200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+4 w & = & 4 \\ 2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\ 4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\ x &
+3 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $D$ die Menge aller reellen $2 \times 2$-Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}} { , }
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Zeige, dass $D$ kein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Raum aller $2 \times 2$-Matrizen ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \Q^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass $U$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mathl{(n-1)}{-}dimensionaler
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {Linearform}{}{}
\maabb {f} { V } { K
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \operatorname{kern} f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$ und es sei
\maabb {\varphi} { \R^2} { \R^2
} {}
die Projektion von $\R^2$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\varphi$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestätige den
Determinantenmultiplikationssatz
für die beiden Matrizen
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 5 \\0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \text{ und } B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & 3 & 6 \\0 & -2 & -3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die Leibniz-Formel für die \definitionsverweis {Determinante}{}{} direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Bestimme explizit die
\definitionsverweis {reellen}{}{}
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1
}
{ \neq }{ \lambda_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente in $K$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und es sei
\maabbdisp {f} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$\chi_{ f }$ und das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{\mu_f}{} die gleichen Nullstellen besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die auch
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
sei. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 4 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mathdisp {P_1 , \ldots , P_n} { }
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} sind
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{.}
}{Für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} ist die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}{Es gibt ein
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} derart, dass die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
linear unabhängig ist.
}{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} bilden in dem von ihnen
\definitionsverweis {erzeugten}{}{} \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{.}
}
}
{} {}