Kurs:Lineare Algebra/Teil I/4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 4 2 4 1 4 4 3 6 6 3 5 2 3 8 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Graph zu einer Abbildung .
  2. Ein kommutativer Ring .
  3. Der Orthogonalraum zu einem Untervektorraum

    im Dualraum zu einem -Vektorraum .

  4. Eine multilineare Abbildung

    wobei Vektorräume über einem Körper sind.

  5. Das Minimalpolynom zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
  2. Der Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.
  3. Der Satz über die Summe von Haupträumen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Die offizielle Berechtigung für eine Klausurteilnahme werde durch mindestens Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei die Menge aller reellen -Matrizen

die die Bedingung

erfüllen. Zeige, dass kein Untervektorraum im Raum aller -Matrizen ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Untervektorraum. Zeige, dass eine Basis aus Vektoren besitzt, deren Einträge allesamt ganze Zahlen sind.


Aufgabe * (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Zeige, dass es eine Linearform mit gibt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Basis

im und es sei die Projektion von auf bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasis.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.


Aufgabe * (6 Punkte)

Bestimme explizit die reellen -Matrizen der Form

mit


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und seien Elemente in . Zeige, dass

ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom die gleichen Nullstellen besitzen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine nilpotente lineare Abbildung, die auch diagonalisierbar sei. Zeige


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ein affiner Raum über einem -Vektorraum und es sei

eine endliche Familie von Punkten aus . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Die Punkte sind affin unabhängig.
  2. Für jedes ist die Vektorfamilie

    linear unabhängig.

  3. Es gibt ein derart, dass die Vektorfamilie

    linear unabhängig ist.

  4. Die Punkte bilden in dem von ihnen erzeugten affinen Unterraum eine affine Basis.